用优秀数学文化涵养学生的精神

张新春

M·克莱因在他的名著《西方文化中的数学》中说：“……几乎每个人都知道，数学在工程设计中具有极其重要的实用价值。但是很少有人懂得数学在科学推理中的重要性，以及它在重要的物理科学理论中所起的核心作用。至于数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法，摧毁和构建了诸多宗教教义，为政治学说和经济理论提供了依据，塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格，创立了逻辑学，而且为我们必须回答的人和宇宙的基本问题提供了最好的答案，这些就更加鲜为人知了。作为理性精神的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，而且取代它们成为思想和行动的指南。最为重要的是，作为一种宝贵的、无可比拟的人类成就，数学在使人赏心悦目和提供审美价值方面，至少可与其他任何一种文化门类媲美。”《数学课程标准》中也指出，“数学是人类文化的重要组成部分……”。那么，在数学教学中，如何体现数学作为一种文化的独特价值？或者说如何利用数学的独特文化品格涵养学生的精神？首先，强调理性精神的启蒙。理性精神是人类所独有的本性。我们说的理性，通常有两个方面的含义。一是认知理性，是人类独有的概念、判断、推理等思维形式和利用这些思维形式进行思维活动的能力。二是道理理性或实践理性，是指人类独有的用以调节和控制自身欲望与行为的精神力量。我们说数学教育的理性精神启蒙，主要是指前者。

事实上，数学之所以是人类文化的一部分，与认知理性意义上的理性精神是分不开的。文化，就其最广泛的意义而言，是人类在社会历史实践过程中所创造的物质财富与精神财富的总和。这个意义上的文化，是与自然相对应的，即是指人类创造的、非自然的事物。数学对象恰恰是非自然的、人脑抽象的结果。郑毓信先生说“：谁曾见过一？我们只见过某一个人、某一棵树、某一间房，而决不会见到作为数学研究对象的‘一。类似地，我们也只能见到圆形的太阳、圆形的车轮，而决不会见到作为几何对象的真正的‘圆。从而，即使就最简单的数学对象而言，它们也是抽象思维的产物。”亚历山大洛夫则说“：我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。我们在学校学的是抽象的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或者苹果的数目乘上苹果的价钱。同样地，几何中研究的，例如，是直线，而不是拉紧的绳子。”像一、圆、直线这样的数学概念（也是数学研究的对象），在客观世界中并不存在，是人脑对客观世界进行加工、抽象的产物。于是，数学不再是自然的，而是非自然的，是人类创造的，从而是文化的。

在数学教育中，帮助学生逐步形成概念、判断、推理的思维形式，并形成这种理性思维能力，就是用数学独特的文化品格涵养学生的精神。

以几何图形的教学为例。

小学一、二年级时，学生在认识长方形、正方形、平行四边形等图形时，通常是通过实物得到一些具体的图形形状（即概念的表象），然后说“像这样的图形，就叫×××”。这不是概念，也无法引向判断、推理。因为所谓“像”是说不清楚的，或者是主观的：甲认为像，乙认为不像。从而也就无法理清长方形、正方形和平行四边形之间的关系。要理清这些关系，需要作如下的判断：所有的正方形都是长方形，所有的长方形都是平行四边形。而这样的判断恰恰需要以明确的概念为基础。

到了小学四年级，我们再认识平行四边形时，就需要明确概念。即，两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。此时，如果我们问如右图的四边形ABCD是不是平行四边形，学生就可以根据概念确认相关条件是否满足：AB与DC平行吗？AD与BC平行吗？这两个条件都能得到满足，就说它是平行四边形。

其次，关注探究精神的培养。数学教学离不开探索和解决各类数学问题。这些问题有的与现实生活联系密切，有的则与现实生活没有太多关系。在此，对與现实生活密切相关的问题的探究，我们特别强调，应该培养学生对纯粹的数学问题，或者说纯粹的智力活动的好奇心与探究精神。

我国传统数学对解决实际问题非常关注。一本《九章算术》即是一本实际问题与解的手册。毋庸讳言，相对于对实际问题的研究，我们对纯粹的数学问题的探究欲望要稍弱一些。原因当然是多方面的，但我们过于重视实际，而对看似无用的问题关心不够，可能也是一个原因。

很多数学内容在现实生活中的用处往往是滞后的。古希腊学者阿波罗尼奥斯研究圆锥曲线时，不知道甚至没想过会有什么用。两千年后，人们发现天体运行的轨迹就是圆锥曲线。于是，当时的人们只需拿起先人为他们准备的工具即可。黎曼也没想到他构建的黎曼几何会成为爱因斯坦相对论的工具。更进一步，即使不考虑这所有的用处，哈代所说的“智力上的好奇心”“谜团的吸引力”“穷究真理的需要”，都应该成为我们思考数学问题的动力。用希尔伯特的话说，“问题就在那里，你必须解决它”。

其实，明清以降，很多有识之士就认识到了这一点，当时的学者积极翻译《几何原本》这样的著作就是典型的例证。《几何原本》是数学公理化的典范，其中几乎不涉及数学的实际应用。徐光启先生在翻译《几何原本》时写了一篇《几何原本杂议》，他在文中说：“此书有四不必：不必疑、不必揣、不必试、不必改；有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得。”他还说：“（此书）有三至、三能：似至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难，实至易，故能以其易易他物之至难。”在他所译的《几何原本》的序言中，他说这本书“盖不用为用，众用所基”。大体是说，好似没用，却是所有用的基础。

以圆的周长为例，我们知道，祖冲之把圆周率的值精确到了小数点以后六位。若从实用的角度看，这一结果已经足够好了。比如，假设地球赤道是一个标准的圆，用祖冲之所得到的圆周率的值计算其周长，误差也不超过1.5米。从实用的意义上说，有了祖冲之的结果后，接下来探索的意义不大了。但我们应该让学生体会到，人类有对未知领域的天然的好奇心，从而不会停止对未知问题的探索，对圆周率的研究也是如此。这也是用数学的品格涵养学生的精神。

第三，注重对广泛联系的揭示。数学中的很多理论、结论，与客观世界、现实生活有密切的联系，我们在教学中要努力予以揭示。事实上，数学的思想、方法渗透到其他学科、渗透到我们的生活，这恰恰是数学作为一种文化力量的表现。

我们知道，黄金分割在现实生活中有着广泛的应用。笔者以“黄金分割”为关键词在万方数据库中进行论文检索，就可以找到《“黄金分割律”在武术套路编排中的应用》《黄金分割定律在电视访谈节目中的运用》《基于黄金分割理论的数字色彩定量设计有效性验证研究》等论文，可见这一数学结论与其他学科、领域的广泛联系。

此外，我们的生活中还有很多社会的、经济的、体育的活动，主动利用了数学的结论与思想。比如著名的《独立宣言》就是按《几何原本》的公理化思想写的。2004年奥运会闭幕式上，团体操队员是按阿基米德螺线出场的。只要有可能，我们就应该在教学中努力揭示类似的联系。

（作者单位：长沙市教育科学研究院）endprint