分数次积分下关于s-凸函数的新Hermite-Hadamard型不等式

2017-10-10孙文兵

浙江大学学报（理学版） 2017年5期

关键词：邵阳结论定理

孙文兵

(邵阳学院理学与信息科学系, 湖南邵阳 422000)

分数次积分下关于s-凸函数的新Hermite-Hadamard型不等式

孙文兵

(邵阳学院理学与信息科学系, 湖南邵阳 422000)

建立了一个关于Riemann-Liouville分数次积分的恒等式, 利用此恒等式, 得到了一些函数为可微且s-凸映射的关于分数次积分的新Hermite-Hadamard型积分不等式, 并且对于可微的s-凹函数也得到一些新的结果. 文中的新结果推广了部分已有研究的结论.最后给出了一个应用实例.

Hadamard不等式;s-凸函数; Hölder不等式; Riemann-Liouville 分数次积分

0 引言

令f:I⊆R→R是一个凸函数且a,b∈I,a

(1)

这就是著名的Hermite-Hadamard不等式.

近年来,众多研究者根据函数具备不同的凸性对Hermite-Hadamard型不等式进行了推广和改进[1-7].随着分数次积分的广泛应用,不少学者开始研究涉及分数次积分的Hermite-Hadamard型不等式,并且得到了越来越多关于分数次积分的结果[8-11].

KIRMACI[12]证明了以下与不等式(1)左端有关联的一些结果:

引理1令f:I*⊂R→R是区间I*上的一个可微映射(I*是I的内部),若f′∈L[a,b],a,b∈I*,a

(2)

根据引理1,KIRMACI证明了以下有关凸函数的3个定理.

定理1令f:I*⊂R→R是区间I*上的可微映射,若|f′|是区间[a,b]上的凸函数,a,b∈I*,a

(3)

(4)

(5)

KIRMACI等[13]还证明了对于凹函数，有

定理4令f:I*⊂R→R是区间I*上的可微映射,且p≥1.如果|f′|p是[a,b]上的凹函数,a,b∈I*,a

(6)

为了得到新的结果,特引入下面3个定义.

定义1[14]若f:[0,∞)→R,对于x,y∈[0,∞),λ∈[0,1]，并且对于某一固定的s∈(0,1],若不等式

f(λx+(1-λ)y)≤λsf(x)+(1-λ)sf(y)

易知,当s=1时,s-凸性即为通常意义下的凸函数.

DRAGOMIR等[15]证明了对于第2种意义下s-凸函数的Hadamard不等式的一个变式:

定理5假设f:[0,∞]→[0,∞]是一个第2种意义下的s-凸函数,其中s∈(0,1)且a,b∈[0,∞),a

(7)

下面给出α(∈R+)阶左侧和右侧分数次积分的定义.

可见,当α=1时,分数次积分即为经典积分.

为了简化结果的表示形式，引入不完全Beta函数的定义[16-18]:

定义3对于a,b>0且0

本文利用Riemann-Liouville分数次积分,对具有s-凸性的函数,建立了与Hermite-Hadamard不等式左端相关的不等式.将Hermite-Hadamard积分不等式推广到分数次积分,文中结果推广了已有文献中的结论,如不等式(3)～(6)是本文结果的特殊情况.

1 Hermite-Hadamard型分数次积分不等式的主要结果及证明

引理2令f:[a,b]→R是区间(a,b)上的可微映射,a

(8)

证明由分部积分,有

(9)

和

(10)

其中,用到变量代换x=ta+(1-t)b,t∈[0,1].

用(b-a)分别乘以式(9)和(10)两边,分别得到

(11)

和

(12)

由式(11)和(12)，引理2得证.

由引理2,可以得到关于第2种意义下s-凸函数的分数次积分不等式.

(13)

(|f′(a)|+|f′(b)|)，

其中用到以下计算结果：

和

结论得证.

(14)

证明在式(13)中,取s=1,由于

于是,结论得证.

注1在推论1中,如果令α=1,则由式(14)可得到定理1中的不等式(3).

推论2令f:[a,b]⊂[0,∞]→R,在区间(a,b)上是一个可微映射,a

(15)

证明在式(13)中,取α=1,由于

则结论成立.

注2在推论2中,令s=1,则式(15)也能得到定理1中的不等式(3).

定理7令f:[a,b]⊂[0,∞]→R,在区间(a,b)上是一个可微映射,a1,则以下分数次积分不等式成立:

(16)

其中，

因为|f′|q在[a,b]上是第2种意义下s-凸的,则有

和

通过计算得到

定理7得证.

3|f′(b)|p/(p-1))(p-1)/p+

(17)

证明在式(16)中,取s=1,即可得到式(7).

注3在推论3中,如果令α=1,则由式(17)可得到定理2中的不等式(4).

推论4令f:[a,b]⊂[0,∞]→R,在区间(a,b)中是一个可微映射,a1,则以下不等式成立:

(18)

证明在式(16)中,取α=1,即可得到式(18).

注4在推论4中,如果令s=1,则由式(18)也可得到定理2中的不等式(4).

(19)

证明令a1=|f′(a)|p/(p-1),b1=(2s+1-1)|f′(b)|p/(p-1),a2=(2s+1-1)|f′(a)|p/(p-1),b2=|f′(b)|p/(p-1)，这里对p>1,有0<(p-1)/p<1.因为对于0

由定理7,可得

[1+(2s+1-1)(p-1)/p](|f′(a)|+|f′(b)|)≤

定理8得证.

(20)

证明在式(19)中,取s=1,即可得到式(20).

注5在推论5中,取α=1,则由式(20)可得到定理3中的不等式(5).

推论6令f:[a,b]⊂[0,∞]→R,在区间(a,b)上是一个可微映射,a1,则以下分数次积分不等式成立:

(21)

证明在式(19)中取α=1,即可得到式(21).

注6在推论6中,如果令s=1,则由式(21)也可得到定理3中的不等式(5).

(22)

因为|f′|q在区间[a,b]上是第2种意义下s-凹的,利用不等式(7),可得

通过计算,可得

(23)

证明根据定理9中的式(22),由于|f′|是一个线性映射,立即可得式(23)[13].

注7在推论7中,取s=1,α=1,由于p>1,则由式(23)可得到定理4中的式(6).

2 应用举例

文献[14]给出一个s凸函数的例子：令s∈(0,1),a1,b1,c1∈R，函数f:[0,∞]→R定义为：

注8若在本文结论中取[a,b]=[0,1]，即a=0,b=1,f(x)=xλ-1(2>λ>1,x∈[0,1])，结合不完全Beta函数定义可得：

其中用到换元1-t=x，并且

因此，有以下命题：

命题1令2>λ>1,由注8以及定理6可得不等式：

注9按照命题1的方法，由文中其他结论可得到类似的不等式.

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SUN Wenbing

(Department of Science and Information Science, Shaoyang University, Shaoyang 422000, Hunan Province, China)

In this paper, we establish a new identity for Riemann-Liouville fractional integrals. Using the established identity, some new Hermite-Hadamard type inequalities for differentiables-convex mappings that are connected with the Riemann-Liouville fractional integrals are obtained. Also, some results are deduced for differentiables-concave functions. Our results extend some proved results in the existing researches. Finally, we give an example to illustrate the applications of the results.

Hadamard’s inequality;s-convex function; Hölder inequality; Riemann-Liouville fractional integral