单列球面滚子轴承径向刚度计算方法

杨家鹏,李柳湘,李正美,安 琦(华东理工大学 机械与动力工程学院,上海 200237)

单列球面滚子轴承径向刚度计算方法

杨家鹏,李柳湘,李正美,安 琦
(华东理工大学 机械与动力工程学院,上海 200237)

以单列球面滚子轴承为研究对象,采用基于数值离散的切片法,综合考虑了球面滚子结构参数、轴承内圈偏转以及弹流润滑效应的影响,建立了单列球面滚子轴承径向综合刚度的计算模型.利用Matlab编程,通过数值计算的方法,研究了滚子轮廓半径、内圈偏转角、轴承转速、径向外载荷、弹流润滑等因素对轴承径向刚度的影响规律.研究结果表明,单列球面滚子轴承的径向刚度随着径向外载荷、内圈偏转角的增大而增大,随着轴承转速、滚子轮廓半径的增大而减小.

球面滚子轴承; 滚子载荷; 径向刚度; 润滑

球面滚子轴承通常作为低速重载机械的常用零件,其性能是决定系统振动特性的关键.对球面滚子轴承径向刚度的研究是分析转子系统动力学性能的基础.目前为止,对滚动轴承刚度的计算方法已经有不少人进行过研究.吴昊等[1-5]研究了圆柱滚子轴承径向刚度的计算方法,分析了弹流润滑、离心力、径向载荷等对轴承刚度的影响.李为民等[6-8]对角接触球轴承和圆锥滚子轴承滚子载荷分布及轴承刚度的计算方法进行了研究,讨论了轴向预紧力、油膜厚度等对轴承刚度的影响.马方波等[9]建立了双列调心滚子轴承滚子受载计算模型,详细分析了径向游隙、内圈倾斜角等对滚子受力情况的影响规律.Shelofast等[10]推导了双列球面滚子轴承刚度的计算公式,分析了轴向和径向载荷同时作用下,球面滚子轴承刚度的变化规律.

虽然一些学者对轴承刚度的计算方法进行了研究,但是由于球面滚子轴承结构复杂,国内外对球面滚子轴承径向刚度计算方法的研究仍显不足.为此,本文以单列球面滚子轴承为研究对象(见图1),考虑滚子结构参数、轴承内圈偏转角、弹流润滑等因素的影响,采用基于数值离散的切片法建立球面滚子轴承径向刚度的数学模型,研究了不同因素对轴承刚度的影响规律.

图1 单列球面滚子轴承结构Fig.1 Structure of single row spherical roller bearings

1 滚子载荷计算

图2为不考虑径向游隙和预紧力情况下,轴承受到径向载荷时,内部载荷分布示意图.在外载荷作用下,轴承内圈中心O沿着径向方向竖直向下移动到点O′,两点之间的距离为δr,即轴承的最大径向弹性变形.由轴承内圈的静力平衡条件可得

(1)

式中:φj为第j个滚动体中心与轴承内圈中心的连线和径向载荷作用线间的夹角;Fj_i为与径向载荷作用线成φj角的滚子对内圈的作用力;Z为轴承内部滚子数目;jmax为轴承90°范围内的最大滚子数目.

图2 径向载荷作用下轴承受力分布示意图Fig.2 Force distribution of the bearingwith radial load

轴承内部变形协调关系为

δj=δrcosφj

(2)

式中:δj为与径向外载荷作用线夹角为φj位置的弹性变形总量;δr为滚动轴承内最大径向弹性变形.

在外部径向载荷作用下,轴承内滚子所受载荷与接触变形存在如下关系[11]:

(3)

将式(2)和式(3)联立求解,可得到轴承内第j个滚子对内圈的作用为

Fj_i=F0_i(cosφj)1/0.9

(4)

将式(1)～式(4)联立求解,可得到轴承内滚子对内圈的最大作用力为

(5)

轴承工作转速较大时,滚子的离心力也会随之增大,这时滚子与轴承外圈的接触力不再等于滚子与内圈的接触力,根据滚子在径向受力平衡条件可得滚子与外圈之间的作用力为

Fj_o=F0_i(cosφj)1/0.9+Fc

(6)

(7)

式中:Fc为滚子受到的离心力,工作转速较小时可忽略不计;下标i,o分别为滚子与轴承内、外滚道接触.

球面滚子轴承在工作过程中,其内圈会随着轴的倾斜而偏转,图3为轴承内圈发生偏转时,内部滚子受力示意图,其中θ为轴承内圈的偏转角度.

图3 内圈偏转时滚子受力分析Fig.3 Force analysis of rollers with inner ring tilting

由轴承径向静平衡条件可得

(8)

根据式(8)即可得到轴承内圈偏转时,各个滚子对内外圈滚道的作用力为

(9)

(10)

2 滚子接触变形及刚度计算

2.1无润滑下的接触变形和刚度计算

轴承在受到径向载荷作用下,其内部滚子将会产生接触弹性变形.图4为最大受载滚子最大横截面处弹性变形示意图,轴承滚子与内圈之间的接触弹性趋近量为δi,滚子与外圈之间的接触弹性趋近量为δo.

图4 滚子与内外圈接触弹性变形示意图Fig.4 Contact elastic deformation betweenroller and inner and outer ring

根据Hertz接触理论[12],当两圆柱体外接触时,接触区域宽度2b和截面圆心的弹性趋近距离2b为

(11)

(12)

当两柱体内接触时,接触区域宽度2b和截面圆心的弹性趋近距离δ为

(13)

(14)

式中:Q为接触体所受到的外力;L为有效接触长度;R1,R2为两接触体的曲率半径(R1≤R2);υ为接触体材料的泊松比;E为接触体材料的弹性模量.

图5 球面滚子结构示意图Fig.5 Structure of the spherical roller

对于球面滚子轴承而言,其内部滚子横截面形状为变截面圆,如图5所示,其中:截面圆半径为r(x);滚子有效接触长度为L;滚子最大横截面直径为D;球面滚子轮廓半径为R;外圈滚道轮廓半径为R1;内圈滚道轮廓半径为R2.建立图示直角坐标系,则第j个滚子在第k个切片处的截面半径为

(15)

内圈滚道在第k个切片处的截面半径为

(1≤k≤n)

(16)

外圈滚道在第k个切片处的截面半径为

(1≤k≤n)

(17)

轴承第j个滚子与轴承内外滚道之间的接触力分别为Fj_i,Fj_o,由于球面滚子轴承内滚道和外滚道轮廓半径相同,且与滚子接触均为内接触,所以滚子与内外滚道在第k个切片处的弹性趋近量分别为

(18)

(19)

第j个滚子第k个切片与内圈滚道之间的接触刚度为

(20)

(21)

(22)

第j个滚子第k个切片与内圈滚道之间的接触刚度为

(23)

(24)

(25)

第j个滚子与内圈滚道之间的总接触径向刚度为

(26)

第j个滚子与外圈滚道之间的总接触径向刚度为

(27)

第j个滚子与内外圈接触的总刚度可以看成是滚子与内外圈接触刚度的串联,其接触总刚度为

(28)

轴承的总刚度由所有受力滚子与内外圈接触刚度并联而得到

(29)

2.2考虑润滑时轴承刚度计算

滚动轴承在高速运转过程中,滚子与内外滚道之间会形成一定的油膜厚度,Dowson推导了等温条件下线接触弹流润滑最小油膜厚度公式[13]:

(30)

式中:α为润滑油的粘压系数;η0为润滑剂啊在标准大气压下的动力黏度;u为轴承节圆上滚子的线速度;ρ为两接触体的当量曲率半径;q为接触区域的线载荷.

根据式(30),可分别得到滚动体与内外圈接触时,不同截面处润滑油膜的最小膜厚为

2组非小细胞肺癌患者近期疗效见表1。2组近期疗效差异有统计学意义(Z=-3.578，P=0.000)。联合用药组对肺癌的控制率为74.44%，显著高于吉西他滨组的46.67%(χ2=15.253，P=0.000)。

(31)

(32)

第j个滚子处第k个油膜切片与内滚道之间的接触刚度为

(33)

(34)

第j个滚子处第k个油膜切片与外滚道之间的接触刚度为

(35)

B= 0.043 7α0.54[η0ni(d_m-2rjk)]0.7·

(36)

第j个滚子处油膜与内滚道之间的径向总刚度为

(37)

第j个滚子处油膜与外滚道之间的径向总刚度为

(38)

第j个滚子处的油膜刚度为

(39)

整个轴承的油膜总刚度为

(40)

考虑弹流润滑时,球面滚子轴承的径向综合刚度由滚子接触刚度和油膜刚度串联得到

(41)

3 计算与分析

在上述所建立的球面滚子轴承径向刚度计算模型的基础上,给定一组球面滚子轴承结构参数,以轴承C2207TN9为例通过计算,对不同因素对轴承刚度的影响进行分析,其具体结构参数如表1所示.

表1 球面滚子轴承结构参数Tab.1 Structure parameters of spherical roller bearings

3.1径向载荷对轴承径向刚度的影响

如图6所示,球面滚子轴承径向刚度随着径向外载荷的增大而增大,径向载荷在0～2 000 N范围内,径向刚度随载荷的变化较为明显.当载荷不断增大时,轴承径向刚度的变化趋于平稳;当径向载荷较小时,有无润滑油润滑对轴承径向刚度的影响十分明显,说明油膜润滑具有降低轴承刚度的作用,如果不考虑弹流润滑的影响,将会导致计算结果的极大误差;当载荷逐渐增大时,两种计算结果之间的差异逐渐减小,说明随着载荷的增大,油膜厚度逐渐减小,油膜刚度不断增大,逐渐与Hertz接触刚度值接近.

图6 径向载荷对球面滚子轴承径向刚度的影响Fig.6 Effect of radial load on the radial stiffnessof spherical roller bearings

3.2轴承转速对其径向刚度的影响

由前文的分析可知,轴承转速主要影响滚子与滚道之间的油膜厚度以及滚子离心力的大小.随着转速的增大,轴承内滚子所受到的离心力会越来越大,使得滚子与轴承外圈之间的作用力增大,但由于滚子质量较小,其增大效果不是特别明显.另外,滚子与滚道之间的油膜厚度随着轴承转速的提高而增大,导致油膜总刚度减小,从而使轴承的总刚度随着转速的增大而逐渐减小(见图7).相同的转速下,轴承刚度随着滚子数目的增大而减小.

图7 轴承转速对球面滚子轴承径向刚度的影响Fig.7 Effect of rotating speed on the radial stiffnessof spherical roller bearings

3.3内圈偏转角度对轴承径向刚度的影响

球面滚子轴承在工作的过程中,由于其特殊的调心功能,常常会发生轴承内圈偏转的情况.图8为轴承内圈偏转角度对其径向刚度的影响.从图中可以看出,球面滚子轴承径向刚度随着偏转角度的增大而增大,偏转角θ<2°时,变化较为缓慢,随着偏转角度的增大,刚度的变化越来越明显.总体而言,内圈偏转对轴承径向刚度的影响程度并不是很大.

图8 内圈偏转角对球面滚子轴承径向刚度的影响Fig.8 Effect of inner ring tilting angle on the radialstiffness of spherical roller bearings

3.4滚动体轮廓半径对轴承径向刚度的影响

滚子轮廓半径的变化,使得滚子在不同截面处与内外圈的接触半径发生改变,因此也会对轴承的刚度产生影响.如图9所示,球面滚子轴承径向刚度随着滚子轮廓半径的增大几乎呈线性减小,但总体而言,滚子轮廓半径的变化对球面滚子轴承径向刚度的影响不明显.

图9 滚子轮廓半径对球面滚子轴承径向刚度的影响Fig.9 Effect of roller contour radius on the radialstiffness of spherical roller bearings

4 结论

(1) 本文采用切片法对单列球面滚子轴承的力学性能进行研究,建立了单列球面滚子轴承径向刚度的计算模型.该模型综合考虑了弹流润滑、径向外载荷、轴承转速、内圈偏转角、滚子轮廓半径等因素对其径向刚度的影响.

(2) 通过对算例的计算,分析了不同影响因素对球面滚子轴承径向刚度的影响规律,得出了具体的变化规律曲线.结果表明:轴承的径向刚度随着径向外载荷、内圈偏转角的增大而增大;随着轴承转速、滚子轮廓半径的增大而减小;滚子轮廓半径、轴承内圈偏转角对球面滚子轴承径向刚度的影响不明显,径向载荷、转速、弹流润滑等因素对轴承径向刚度的影响十分显著.

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Calculationmethodofradialstiffnessforsinglerowsphericalrollerbearings

YANGJiapeng,LILiuxiang,LIZhengmei,ANQi
(School of Mechanical and Power Engineering,East China University of Science and Technology,Shanghai 200237,China)

A calculating model is developed to study the radial stiffness of single row spherical roller bearings by using a slice technique based on numerical dispersion with considering some factors such as the structure parameter of the roller,rotating angle of the inner ring,speed of the bearing,the radial loads on spherical roller bearings,and elastohydrodynamic lubrication.The effect of the above factors on the bearings’ radial stiffness is studied by numerical calculating by using Matlab.Results show that the radial stiffness increases with the increase of radial loads,rotary angle of the inner ring,and decreases with the speed of the bearing and the radius of roller increasing.

spherical roller bearings; roller loads; radial stiffness; lubrication

TH 133.33

： A

： 1672-5581(2017)03-0216-06

杨家鹏(1989—),男,博士生.E-mail:jiapengyang0841@163.com