恒成立问题的解题思维暴露

沈桂珍

摘要 恒成立问题是高考中的重点、热点，能用不同的知识和题型考查，为帮助学生理解恒成立问题，本文从算法的角度，结合题组训练、说题的方法暴露思维过程，提升学生学习成绩.

关键词 恒成立 题组 思维

中国分类号：G633.6

恒成立问题是高考中的一个热点，它以函数、导数、数列等知识为依托，考查学生转化与化归、推理论证、运算求解的能力.历年学生答卷中会出现思路不清、过程繁琐、转化出错、细节疏漏的各种失分.为帮助学习者迅速掌握此类问题，本文从算法的角度，结合题组训练、说题的方法暴露解题思维，提升学生学习成绩.

恒成立问题是全称命题，其一般形式： ，即对M中的所有 ，都具有性质 .要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合中的每个预算，验证成立；但要判断全称命题是假命题，只要举出一个反例即可.

总结以上5种基本形式，关于恒成立的不等问题就转化为最值，相等问题转化为值域关系.同理可得当“>”改为其他不等号时的情况.

在解题过程中，思考方向如下，用算法表示为：

S1 能否用通法直接求解.

S2 如果能解决，问题结束。如果不能解决，进入S3.

S3 如果参数系数的符号确定时，用分离参数法，问题结束；如果参数系数的符号不确定，进入S4.

S4 如果背景函数的性质容易研究，用分类讨论，问题结束；如果函数性质不容易研究或分类解决比较复杂，用特殊方法，至此问题结束.

我们的大脑是一个神奇的黑匣子，借助输出猜测工作过程.面对具体问题时，要综合审视题目条件，快速确定最佳解题途径.教学中主要采用题组训练、说题的方法暴露思维。

一、教学中利用题组训练，展示学生的做法，开展糾错大讨论，挖掘错因，找到最优解法

题1、

解析：令

思维暴露：题目中出现的学生熟悉的二次函数，多利用数形结合，已知数学符号翻译为函数值恒正，只需考虑开口和判别式.

题2、

解析：

思维暴露：问题能直接转化为最值，而 的最值是二次中的轴动定区间问题，求解复杂，所以转用分离参数法，注意均值求最值需要检验正定等三方面条件是否满足.

题3、

解析：

思维暴露：函数 的最值无法用均值不等式，用函数法求最值.易错点是等号的处理，当函数 无最小值时， 能取到 .

题4、证明：对一切x∈（0，+∞），都有ln x>1ex-2ex成立.

解析：问题等价于证明 用导数法解得

从而证毕.

思维暴露：用通法证明原不等式和变形不等式都较困难，所以此题用特殊方法， 能推出题目结论.

题5、（2010年山东理科高考22题）已知函数 .

（Ⅱ）设 当 时，若对任意 ，存在 ，使

，求实数 取值范围.

解析：转化为 即可.

思维暴露：出现了两个量词时，处理方法，先去掉任意，再去掉存在，或者顺序相反也可.关键点在于根据命题真假确定好是最大值还是最小值.

在高三复习中，题组训练把各种解题方法集中呈现，便于对比和选择，学生容易形成知识体系，方法成套.

二、教学中落实学为主体的原则，开展学生讲题、说题活动

美国学者埃德加.戴尔（Edgar Dale）1946年提出了“学习金字塔”（Cone of Learning）的理论，以语言学习为例，在初次学习两个星期后：阅读能够记住学习内容的10%； 聆听能够记住学习内容的20%； 看图能够记住30%； 看影像，看展览，看演示，现场观摩能够记住50%； 参与讨论，发言能够记住70%； 做报告，给别人讲，亲身体验，动手做能够记住90%.

教学中鼓励学生大胆的说，大胆的讲，说解题的方法、步骤、格式和表述、应用的数学思想方法、其它解法、解法的优化、变化和结论的一般推广、解题总结、解题的易错点和注意事项.恒成立问题的思维暴露课堂形式：先学后教，先做后讲，先独立求解，然后同桌相互交流，小组讨论，最后教师点评，师生总结方法规律.

数学教材中随手可以选取素材开展思维训练，思维暴露要从教师做起，课堂上注重知识形成的过程和来龙去脉，给学生提供脚手架和丰富的资料.

参考文献

[1]邵思青.也谈恒成立与存在性问题的处理[J].考试周刊，2012（47）.

[2]刘瑜素.浅谈高中数学中的恒成立与存在性的综合问题[J].数学学习与研究，2012（13）.

[3]韩洪波.暴露数学思维过程 培养学生思维品质[J].数学学习与研究，2012（20）.endprint