数列求和方法
2017-09-27陈亚肃
陈亚肃
1. 前言
数列是一个古老的数学问题。在我国古代，数学家对数列的认识特别早，《易经》中有这样的记载“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”[1]，这在世界数学史上都算得上是最早的相关等差数列记载。在国外，古印度宰相西萨发明国际象棋的故事就初步涉及到等比数列求和的问题；古巴比伦人很早就计算出了具体的等比数列之和；欧几里得在著作《几何原本》中对等比数列之和给出了具体的证明。固数列有着非常悠久的历史。
本文总结出高中教材涉及的几种数列求和方法：公式法，倒序相加法，错位相减法。这几种最为基础的求和方法一般用来解决规律性强的数列。对于以上的每种数列求和方法，在介绍、总结了计算法则之后，都用比较具有代表性的计算题或证明题来进行了例题示范。使用以上这些数列求和方法，可以解决生活中常见的比较多的数列求和问题。
2. 数列求和方法
生活中遇到的有关数列的问题，如果数列的规律性较强，比如等差数列、等比数列、等差与等比相乘的数列，如果对这类数列进行求和，可以用高中教材涉及的方法来计算，下面介绍中学教材中涉及的四种基础性的数列求和方法。
2.1 直接求和法
對于数列求和的题目，如果题目是对于等差或等比数列进行求和，可直接根据公式来进行求和。
直接求和法常用公式有：
，
，
，
等差数列前 项和公式：
，
等比数列前 项和公式：
.
2.2 倒序相加法
对于已知的数列 ，如果首尾两项之和等于所有与前后距离相等的项数之和，那么这样的数列 求和就可以采用倒序相加法，其具体操作就是：第一，把数列前 项和按顺序依次展开；第二，把数列的前 项和展开再按倒叙排列；第三，把两个式子对应相加，会发现相加后的数列每一项都相等，即转化为常数列，此时问题就可以迎刃而解了。
例2.2.1 假设已知有一个等差数列 ，此数列的首项和公差都为1，计算出这个数列的前100项之和。
解：由倒叙相加法可得：
由
，
，
.
2.3 错位相减法
给定一个数列 ，该数列的通项公式可以分解，分解后通项成等差与等比的乘积 ，中间 代表等差数列， 代表等比数列，那么求数列 的前 项和的时候可以采用错位相减法。
例2.3.1 已知数列 ， ，求
解： 时，该数列从第二项起都为零，
时，数列是一个常数列， ；
时，数列是一个合成数列，可拆为等差数乘以等比数列的形式
，其中， ，采用错位相减法可以得到如下结果：
，
，
，
.
经过检验，当 的时候式子也成立。
