中职数学中一元二次不等式的解法初探

摘要：一元二次不等式，是中职数学教学的重点，也是学生学习的难点，本文总结归纳了一元二次不等式的三种解法，并对其适用范围进行了探讨。

关键词：一元二次不等式、二次函数图像、因式相乘、区间

G634.6

中职《数学》教材第二章的重点是如何解一元二次不等式，由于近几年来中职学生数量和质量的下降，学生在学习这部分内容时十分困难，针对这些情况，结合笔者二十多年的教学经验，现将一元二次不等式的几种解法总结归纳如下。

一、预备知识

初中的二次函数的图像（a>0）， 一元二次方程的解法及因式分解的知识，是学习一元二次不等式的基础。另外，在解一元二次不等式之前，最好把一元二次不等式整理成如下形式，平方项的系数大于0，且所有的项都移到不等式的左边，右边为0。

二、不等式的解法

1.区间分析法

把一元二次不等式的左边分解成两个因式相乘的形式，如解（x-1）（x-2）>0，令x-1=0得x=1，令x-2=0得x=2，x=1及x=2把区间（-∞，+∞）分成三个区间（-∞，1）（1，2）（2，+∞），然后判断因式（x-1）及（x-2）在这三个区间内的正负，在区间（-∞，1）上，x-1<0，x-2<0，（x-1）（x-2）>0。在区间（1，2）上，x-1>0，x-2<0，（x-1）（x-2）<0。在区间（2，+∞）上，x-1>0，x-2>0，（x-1）（x-2）>0。于是区间（-∞，1）及（2，+∞）为不等式的解集。

2.解不等式组法：把不等式的左边分解成两个因式相乘的形式，再根据两个因式相乘同号为正异号为负。把一元二次不等式分解成两个不等式组，然后分别来解这两个不等式组即可。如解（x+1）（x-2）<0，分解成的两个不等式组为

① x+1>0 ② x+1<0

x-2<0 x-2>0

不等式组①的解集为（-1，2），不等式组②的解集为空集，于是一元二次不等式的解集为（-1，2）。

3.图像法

先把一元二次不等式化成 或 且a>0的形式，再研究一元二次函数 的图像，方程 的解与不等式 及 的解之间的关系。一元二次函数 的图像分三种情况。

第一种情况图（1）：图像与x轴相交有两个交点 及 ，经过分析 及 正好是方程 的两个不等实根，此时△>0。在x轴上方的函数图像，所对应的x的取值范围，即{x∣x< 或x> }内的值，使得y= ；在x轴上下方的函数图像，所对应的x的取值范围，即{x∣

第二种情况图（2）：图像与x轴相切只有一个交点 ，而 正好是方程 的两个相等实根，此时△=0。函数图像均在x轴上方，说明x不论取任何实数， ≥0。

综上所述，一元二次不等式的三種解法各有利弊，区间分析法与解不等式组法简单易学，但只适用于不等式的左边能分解成两个因式相乘的形式，即△>0时，而区间分析法还可以推广为分解成三个或三个以上因式相乘的形式。图像法适用于解所有的一元二次不等式，但理解它需衔接初中的一些知识。因此在教学时需根据不同的题目采取不同的方法来教学。

参考文献：《数学》（基础模块）上册 李广全 李尚志

作者简介：刘建宁（1967-），女，辽宁本溪市人，讲师，从事数学教育工作。