微积分教学中的发散思维训练

赵翠萍

摘 要：发散思维的训练对于培养创造性人才具有深远意义，本文以微积分教学为例，依据发散思维的特点，总结提出了在微积分教学中，通过发掘教材中的“发散”因素、诱发学生的发散动机、教给学生发散思维的方式、鼓励学生一题多解等四种途径和方法，培养学生发散思维的能力.

关 键 词：微积分；教学；发散思维；训练；

【中图分类号】G712

发散思维也称求异思维或分散思维，是指根据问题提供的信息，从不同的角度与方向去思考，最终获得多种答案的思维形式[1].心理学研究表明：思维的发散性表现在对问题不急于归一，而是在提出多方面的设想或各种解法之后，经筛选找出比较合理妥善的解法.

发散思维具有求异性、探索性、创造性，发散思维是创造性思维的核心，许多外国心理学家把发散思维与创造力联系在一起，可以认为发散思维体现了一种创造精神，这种精神对于培养创造型人才具有深远的意义[2].

众所周知，数学在培养和训练学生的思维能力方面起着举足轻重的作用，因此，在微积分教学中，加大对学生发散思维能力的培养和引导，有助于学生分析能力的加强和创新意识的启迪，从而使学生素质能力得到全面提升.本文以微积分教学为例，重点探讨并给出教師在微积分教学 中发散思维的训练和应用实例.

1. 发掘教材中的“发散”因素

在微积分教学中，要培养学生的发散思维能力，首先教师要认真钻研教材，分别从宏观体系和微观环节上发掘教材中的“发散”因素，为培养和训练学生的发散思维能力作好素材上的准备.

从宏观体系上考虑，多元函数的微分学和一元函数微分学、空间解析几何和平面解析几何通过“降维”而联系；不定积分和导数（微分）通过互逆运算而联系；定积分、二重积分、三重积

分、曲线积分、曲面积分通过积分区域而联系等等.这些都是有利于发展学生发散思维的因素.

从微观上考虑，“发散”素材要从具体的数学定义、定理、公式、题目等内容上发掘并筛选.例如，微积分中的定义、定理、公式、法则等是较多的，要使学生能很好地理解知识和掌握知识，除了弄清它们的来龙去脉，更要紧的是掌握这些知识的本质，从而能熟练地运用.开展发散性思维有利于这些能力的培养.

如微分课上，从导数公式引进微分公式以后，可设计以下一组练习，要求学生尽量一空多填，使等式成立.

（1） （ ） ， （2） （ ）= ，

（3）（ ） = ， （4） =（ ） ，

（5） =（ ） ， （6） （ ），

（7） =（ ） ， （8） （ ）.

如上的一组练习，就是把唯一性填空改编成一空多填形式进行发散性思维.实践证明，通过如上的一空多填练习，不仅使学生掌握了这些公式的本质，并且能较牢固地掌握公式的特征，保证了在今后的学习中能较熟练地进行运用。开展发散性思维，一定要根据教材的特征，灵活地选择“发散点”，这是做好这项工作的重要前提。例如讲授“函数极限的定义”时，对“数列极限的定义”进行发散，发散点选择在自变量的变化上.

数列极限 的定义可表达为[3]： .对自变量n进行发散，

（1）当自变量 时，函数 即 ；

（2） 当自变量 时，函数

；

（3） 当自变量 时，函数 即 ；

通过如上三点进行发散思维，不仅使学生看到数列极限为函数极限的特殊情形，且顺利地引入了当 时函数极限的定义.endprint