基于“卓越计划”的工科院校大学数学概念教学实践与探索

李征宇　孙平

摘要：大学数学概念是推导大学数学公式、定理的出发点，是学习大学数学知识的基础，是解题的重要依据。因此，鉴于大学数学概念在大学数学知识中占有举足轻重的地位，本文从四个方面阐述对大学数学概念的教学方法：认清概念的形成过程，弄清概念的内涵和外延，从不同方面理解和掌握概念，从练习中巩固和运用概念。

关键词：大学数学概念 内涵 外延

【中图分类号】G642.4

大学数学是理、工科院校一门重要的基础学科。它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性特点。数学概念是具体性与抽象性的辩证统一，它具有很强的系统性。大学数学概念是大学数学知识体系的基础和核心。由此可见，在大学数学的教学过程中，概念教学是教学中至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心，同时也是提高数学教学质量的关键。本文从四个方面阐述大学数学概念的教学。

一、概念的形成过程

从大学数学概念的形成来看，总是先从一些具有共同性质的实例中概括、抽象出相似之处，通过对这些有共同点的具体内容或现实模型的观察，从而归纳它的数学概念。例如，在进行导数概念教学的过程时，先引导学生研究两个在历史上与导数概念形成有密切联系的实际问题，即变速直线运动中的瞬时速度问题和曲线的切线问题，通过解决这些实际问题，抽象出它们在数量关系上的共性，从而总结归纳出导数的概念。导数就是变化率，即当自变量的改变量趋近于0时，因变量相对于自变量的变化率。同时指出，给出导数概念的这个过程的基本思想是先近似再精确，借助于极限方法从有限转化为无限，从量变过度到质变。采用这种教学方式，会使学生更容易掌握导数的概念。

二、概念的内涵和外延

认识概念后，要揭示事物的本质属性，搞清概念的内涵和外延，对概念进行剖析，达到弄清内涵，学透外延的水平。把概念的本质属性弄清楚，把本质属性所反映的全体对象揭示出来，切忌不要死记硬背定义。例如，数列极限的概念是一个很抽象很难理解的概念，因此为了使学生能深入理解数列极限概念的实质，教师要讲解此概念的内涵和外延。要求学生在理解 时，知道其具有双重性，即任意小性和相对固定性，在理解正整数 时，知道其具有存在性和不唯一性，并且正整数 是由 的给定而选定的。

搞清概念的内涵和外延，对概念进行深刻的剖析，紧扣概念中的每个字、词、句分析定义的结构，强调关键的词汇，尤其要注意括号内的条件。数列极限的概念中，“对于给定的正数 （不论它多么小）”，括号中文字的意思就是指 可以任意小，即要多小有多小。

因此，在讲解大学数学概念时，要加强对概念的分析，使学生弄清概念的内涵和外延，沟通知识的内在联系。

三、理解和掌握概念

通过对一些问题的解答，可以加深对概念的理解，且这种理解从其深度和广度都是从概念的正面分析所达不到的。

弄明白大学数学概念之间的区别，使原来学习中存在一些对概念模糊不清的地方可以得到较好的澄清和纠正。例如，学生学习过一元函数微分学，知道微分和导数是两个不同的概念，且它们之间关系密切。知可导必可微，可微必可导，且有 ，但又有区别，函数 在一点 的导数 是一个常数，导数仅与 有关，而函数 在 的微分 不仅与 有关，还与自变量的增量 有关。在进行多元函数微分学教学时，要强调可微与可导这个充要条件不能推广到多元函数。但对于多元函数有这样的结论：可微则偏导数一定存在，反之只有当偏导数连续时才可微。

难以理解的概念要循序渐进的学习。经过一段时间后，学的概念越来越多。对于相近的概念，词同义不同及形相似而义不同的概念易混淆，这就要从定义、性质、有的也可以从图形等各方面进行分析、比较、区别。把所学概念进行整理，使条理系统化。倘若仅从某一概念本身出发去理解这个概念，理解的深度和广度都受到局限，但利用几个相似的概念比较学习，找出它们的联系与区别，这样有利于学生更清晰明了的掌握所学概念的实质。教师要让学生在比较中学习，在比较中加深对概念的理解，从而从整体上把握所学到的数学概念。例如在讲授定积分的概念时，从求解曲边梯形的面积和变速直线运动的路程等例子入手，在求解这些例子时，强调遵循“大化小、常代变、近似和、取极限”这四步，引导学生通过实例对定积分的概念有一个清晰的直观認识，使学生更容易理解定积分的基本思想。学生只有将定积分的概念及其基本思想理解透彻了，才能更好地掌握和理解定积分的计算方法及其相关应用。在后面学习的二重积分和三重积分分别是定积分在平面和空间区域上的推广，对二重积分和三重积分的计算最终也都归结为对定积分的计算；而曲线积分和曲面积分也是定积分的概念分别推广到积分范围是一段曲线和一片曲面的情形，同理，对曲线积分和曲面积分的计算最终也将转化为对定积分或重积分的计算。这样通过归纳类比的方法会很容易理解和掌握这几个相对复杂的积分概念。

四、巩固和运用概念

在认识和形成概念，理解和掌握之后，巩固概念是一个不可缺少的环节。巩固的主要手段是多练习、多运用。只有这样才能沟通概念法则、性质之间的内在联系。概念的运用，是对概念掌握程度的检验。通过运用，可以巩固和加深对概念的理解，同时，可以对概念有新的认识，从而提高学习的兴趣和自觉性。用概念推导公式、证明定理、解答习题具有重要的意义。

在对大学数学概念的理解和运用过程中，教师要启发学生去善于发现和总结各个概念之间存在的内在联系。例如， 在一元函数微分学中，有极限、连续、导数、微分等概念，同样，在多元函数微分学中也有极限、连续、偏导数、全微分等概念，教师在教学中要注重分析比较这些概念之间的联系与不同，通过强化这些概念之间的联系，既促进了学生对新概念的理解，又巩固了已有的所学概念。

总之，在进行大学数学概念的教学过程中，教师要认真钻研大学数学教材，多查阅相关资料，了解所教概念的背景，清楚所教概念的内涵和外延。教师在以学生为主体的前提下，通过采取多种不同的教学方式对学生进行概念教学，力求使学生能够准确认识和深刻理解概念的具体含义。教师还要经常培养学生在解题中运用概念进行思维的习惯，不断地提高思维能力，不断地提高运用概念的能力。因此，能够正确理解大学数学概念是掌握好大学数学知识的前提，是解题的关键。

“本文受沈阳建筑大学普通高等教育本科教学改革研究项目jwc-006资助”

参考文献

1. 曹才翰 数学教育心理学 北京师范大学出版社 1999.12

2. 同济大学 大学数学（第六版） 大学教育出版社 2008.4

3. 张奠宇 数学教育学 江西教育出版社 1990.10endprint