Besov空间到Bloch型空间上的加权微分复合算子

许毅，侯晓阳

(1.温州大学数学与信息科学学院，浙江温州325035；2.温州商学院基础部，浙江温州325035)

Besov空间到Bloch型空间上的加权微分复合算子

许毅1，侯晓阳2*

(1.温州大学数学与信息科学学院，浙江温州325035；2.温州商学院基础部，浙江温州325035)

设φ为单位圆盘ⅅ上的解析自映射，u为ⅅ上的解析函数。本文讨论从Besov空间Bp,q到α-Bloch型空间的加权微分复合算子Dnφ,u，通过构造复杂的检验函数得出了算子有界性和紧性的充分必要条件。

有界性；紧性；加权微分复合算子；Besov空间；Bloch型空间

设0＜p＜∞，-1＜q＜∞，若函数f满足：

特别地，当α=1时，为Bloch空间。在范数下

设D=D1是微分算子，即有

定理1上非常值的解析自映射，且0＜p＜∞，-1＜q＜∞，则加权微分复合算子是有界算子的充分必要条件是

定理2设上非常值的解析自映射，且0＜p＜∞，-1＜q＜∞，则加权微分复合算子是紧算子的充分必要条件是是有界算子，且

在无其他说明的情况下，以下均假设：

另外，E表示与z，w等无关的正常数，且在不同的地方可以表示不同的数。

1 定理1 的证明

为了证明定理1，我们需要用到下述引理。

引理1[8]设，则有

并且

下面证明定理1。

证明充分性：对任意f(z)∈Bp,q，根据三角不等式和引理1，有

由式(5)，(6)得到

因此由式(7)-(11)及ℬα中范数的定义，得

由上式可知

由(12)及(13)可得(1)成立。

对(2)式，同样固定ω∈ⅅ，考察函数

2 定理2 的证明

在定理2证明过程中需要用到下面引理。

引理2设上非常值的解析自映射是紧算子的充分必要条件是是有界算子，且对于Bp,q中在ⅅ上内闭一致收敛于0的有界函数序列{fk}，有

引理2是文献[9]中的命题3.11的特殊情况，取X=Bp,q，Y=Bα即可。

定理2的证明如下。

由于fk在ⅅ的紧子集上一致收敛于0，由Weierstrass定理可知在的紧子集上也一致收敛于0，又因为是有界算子，由定理1可得(1)，(2)成立，因此存在使得当k＞K0时，有

所以fk在的紧子集上一致收敛于0。

由引理2，结合式(16)可知

因此(3)成立。

对(4)式，取检验函数

类似(3)证明讨论可得。

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[5]Lou Z.Composition operators on Bloch type spaces [J].Analysis,2003,1(1):81-95.

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Weighted differentiation composition operators from Besov spaces to Bloch type spaces

XU Yi1，HOU Xiao-yang2*
(1.College of Mathematics and Information Science，Wenzhou University,Wenzhou ZheJiang325035,China;2.Department of Basics,Wenzhou Business College,Wenzhou ZheJiang325035,China)

letbe an analytic self-map of the unit disk,andube an analytic function on.The boundedness and compactness of the weighted differentiation composition operatorDnφ,ufrom Besov spaceBp,qtoα-Bloch type spaceis discussed in this paper,and some necessary and sufficient conditions are obtained by constructing complex test functions.

boundedness;compactness;weighted differentiation composition operator;Besov space;Bloch type space

O177.2

A

1004-4329（2017）01-013-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）01-013-04

2016-11-10

侯晓阳（1982-），男，硕士，讲师，研究方向：算子理论与泛函分析。Email：xyhou@wzbc.edu.cn。