引导学生合情推理，不断创新

李爱儿

【中图分类号】：G633.6

合情推理能力是数学解题的关键，合情推理能力强的同学会根据已知条件很顺利地一步步推出结论。反之，不善于合情推理的同学会举步维艰，常常思路中断而失败。因此在日常教学中就要从培养观察、归纳、猜测等能力着手，提升合情推理能力，让学生顺利解题，不断创新。

一、培养和提升进行合情推理的一些基础能力

（一）观察能力。解题时要培养学生多角度、多种可能性观察已知和未知的联系。

1，观察条件和问题的特征

例1：（1）、运用多项式的乘法计算（x+y）（x2-xy+y2）=----， （x-y）（x2+xy+y2）=------

（2）、运用（1）中的等式把下列各式分解因式a3+b3=（ ）（ ），

a3+（2b）3=（ ）（ ）， x3-8y3=（ ）（ ）。

这题关键是观察、发现已知和结论间的符号特征和各项之间的联系。

，2，观察数式相应的图像，用数形结合思想解题

例2：下列各三角形图案是由若干个五角星组成的，每条边（包括两个顶点）有n（n>1）五角星，每个图案中五角星的总数为s.按此规律推断：s与n的关系.

让学生多角度地观察图形，发现每条边上的五角星数包括了两个顶点，若每边按n个计算，则重算了三个顶点上的三个，故有s=3n-3。也可以观察总数之间的关系，发现每幅多3，于是猜想：s= ，从而求得s=3n-3。观察、推理是解决本题的关键。

3，观察发现、推理题目中的隐含条件

如：例3：（1）、计算下列各组算式并观察它们的共同特点。

①： 7 9= 8 8= ②： 11 13= 12 12= ③： 79 81= 80 80=

（2）、从以上的算式中，你发现了什么？请用字母表示这一规律，并说明它的正确性。

分析：这类题中除了要观察算式的特征，还要观察到（1）的计算结果中的隐含规律。

2、发现问题，提出问题的能力。在学习新知识和解题中，引导学生捕捉自己的一些疑问和思维断点，时常发现和提出一些问题。

3、归纳能力

教学中要注意多创设机会，让学生大胆归纳、猜想。

（1）用归纳法发现问题的结论。从几个特殊例子中归纳、猜测出结论。

例4： 计算：⑴ = 3 ⑵ =33

⑶ =333 （4） =3333

请根据上述规律写出下式的结果： =.......

关键让学生在观察特例的基础上，归纳各个数的数字个数之间的规律，再从特殊推广到一般。

（2）用归纳法发现解决问题的途径。很多题组类的问题都是在归纳前几小题

的解题方法上，用于解决后面几小题。

如，例5：一直一个面积为S等边三角形，先将其个边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点像外做小等边三角形（如图所示）。

（1）、当n=5时，共向外作出了――个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为------，

（2）、当n=k时，共向外作出了---个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和为-----------（用含k的式子表示）。

分析：从当n=3，n=4，n=5中，发现每条边向外作了n-2个小三角形，归纳出

当n=k时，得出总数为3（k-2）个。同样，每个小三角形的面积根据相似三角形的面积比与边长比的关系可得出n=5时，为 。于是由特殊到一般得出n=k时的所有小三角形的面积和为 。

4、猜测（或猜想）能力

数学猜测是一种创造性的思维。在解题中，要多创造机会鼓励学生大胆猜测题目的结论、解题的方向与方法等等。

二、合情推理的教学与应用

在教学中，观察，归纳，猜测的思想并不是截然分开运用的，而是一个交互运用的过程。

1、在新课的定义教学中，提升观察、归纳、猜测的思想与能力

在教材中，许多定义的得出都为我们安排了观察、归纳的内容。

如例6，一元一次不等式的教学：观察下列不等式：（1）、x 4， （2）3 x，

（3） （4）、1.5x+12 0.5x+1，这些不等式有哪些共同的特点？

这时我们一定要留时间让学生观察、归纳它们的共同点，尝试得出一元一次不等式的概念，从中获得创新的喜悦。

2、在新课的定理、法则教学中，培养观察、归纳、猜测的能力

如，浙教版七下第五章，同底数幂的乘法法则、除法法则等类似内容，都是先编排了几个特殊例子。这时应让学生充分观察它们的计算结果，大胆归纳、猜想。还有在特殊平行四边形的性质和判定的教学中，放手让学生观察、推理，大胆猜测有哪些性质和判定，再进行验证。

若学生在学习中习惯了主动观察、归纳、猜测的思维方式，就会达到主动学习、大胆创新的目的。

3、在解题中培养观察、归纳、猜测的能力

在解题中，可以引导学生观察，归纳、猜测题目的结论，猜测解题的方向与方法等，再进行合理的推理。

如例7，如图， 中，A 、A 、A 、……A 是边AC上不同的n个点，首先连接BA ，图中有3个不同的三角形，再连接BA 图中共有6个不同的三角形（1）连接到A 时，请用n的代数式表示图中共有三角形的个数。

（ 2）若出现45个三角形，则共需连接多少个点？

分析：可以观察发现，当AC上有1个点时，所得三角形的个数为（2+1）个；有2个点时，有（3+2+1）个；有3个点时，有（ 4+3+2+1）个；…… 由此归纳、猜测：当AC上有n个点时，三角形有[（n+1）+n+（n-1）+ ……+3+2+1 ]个。

解决此题，关键是从个别情况中，合情推理、归纳出一般情况下的结论。

如例8，如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，当 时，求 的值。

类比归纳，在图（1）中，若 ，则 的值等于----------。若 ，则 的值等于-------。

若 （n为整数），则 的值等于----------（用含n的式子表示）。

解决此题，在图中，都可连接BM，EM，设AM=y，所以可得y2+22=BM2=（2-y）2+12，所以y= ，而在三角形ENC中，设BN=x，则（2-x）2+1=x2可得x= ，所以 = 。同理，在 ， ，时，也可观察发现也能用这一方法，、很快得出，答案为 ， 。但这时思考，它们的答案是否有什么规律呢？还是没有规律，又都重新用勾股定理再算一次呢？猜想，后一种情况是不太可能的。于是引导学生观察、归纳这三个答案的规律： ， ， ，这三个分数分别与对应的 ， ， 相联系观察、归纳出，最后一小题的答案为 。这题的解决充分显示了观察、归纳、猜测在探索解题思路、解题结论中的作用。

总的，在初中數学的学习过程中，要善于创设时间和空间让学生主动观察、大胆猜测、合情推理，从而自己创新性地发现知识、解决问题，不断提升合情推理的能力、不断创新。endprint