《万有引力与天体运动》中的两个近似

吴本滔

摘要：万有引力和天体运动是高考中常考的一个知识点，这一类题目，由于公式的形式比较复杂，计算中得到的中间公式特别多，向心力的表达式也比较多，常常容易导致混乱而出错失分。本文结合例题对此展开探讨。

关键词：万有引力；天体运动；两个近似

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）07-0121

万有引力和天体运动是高考中常考的一个知识点，这一类题目，由于公式的形式比较复杂，计算中得到的中间公式特别多，向心力的表达式也比较多，常常容易导致混乱而出错失分。

例：已知地球半径为R，表面重力加速度为g，一质量为m静止在赤道上的热气球（不计气球离地高度）绕地心运动的角速度为ω0，在距地面h高處圆形轨道上有一颗质量为m1的人造地球卫星，设地球质量为M，万有引力常量为G，求人造地球卫星绕地运行的角速度ω0。

有一位学生这样解题：

对热气球：■=mω20R

对人造地球卫星：■=m1ω2（R+h）

进而得到：ω=■

这是典型的错误解法，错在对万有引力与重力，万有引力与向心力的关系认识模糊，理解混乱。

一、万有引力与重力的关系

如图1，在太空中平行于赤道平面看地球，在地表纬度为θ的某处，有一物体m，把地球看作质点，物体受到地球的万有引力F引指向球心，物体随地球一起自转所需的向心力F向必定垂直地球转动轴，这个力只能由F引沿垂直转动轴方向的分力来提供，F引的另一个分力就是物体的重力G0（如图2）。

当物体位置往高纬度处变化时，F向逐渐变小，G0逐渐变大，直到在极点即纬度θ=90°处（如图3），F向=0，此时G0与F向大小相等方向相同。

当物体的位置往低纬度处变化时，F向逐渐变大，G0逐渐变小，直到在赤道即纬度θ=0°处（如图4），F引与其两个分力、F向方向相同，都指向球心。因为物体离转动轴最远，转动半径最大（等于地球半径R），所以F向达到最大，G0此时最小。

可见，当物体在地球表面上，随地球一起自转时，重力只是万有引力的一个分力。纬度的增大，重力增大，纬度减小，重力减小。所以重力加速度g随着纬度的增大而增大，随着纬度的减小而减小。

如果物体在离地高h的空中，物体已脱离地面，没有随地球一起自转，地球对物体的万有引力F引=■，这个力也是物体在空中受到的重力G0，F引、G0是同一个力，即G0=■。所以重力加速度g随着高度的增大而减小。

原来，在地球表面上，物体随着地球一起自转时，重力只是万有引力的一个分力；在空中，重力和万有引力是同一个力。

已知地球自转的角度ω0=7.27×10-5rad/s，地球半径R=6.4×106m，可计算，在赤道的地面上，地球对质量为m的物体万有引力F引=■≈9.7mN物体随地球自转所需的向心力。F向=mω2R≈3.38m×10-2N可见，即使在赤道上，物体的向心力最大，也有F向远小于F引 ，因此万有引力的另一个分力物体的重力G0=F引-F向≈F引。

所以常常近似认为：在地球表面上，物体m随地球一起自转时，重力近似等于地球对其的万有引力，即mg=■。

二、向心力与万有引力的关系

如图5，一颗人造地球卫星在距离地面高h处的圆轨道上绕地球运行。这种情形，常常把卫星的运动近似看作是匀速圆周运动，其圆心就是地球的球心。卫星圆周运动所需的向心力由万有引力提供即F向=F引，展开得到：

■=■，得v=■

mω2（R+h）=■，得ω=■

m■（R+h）=■，得T=■

抓住上述两个近似，碰到涉及万有引力与天体运动类的问题时，无论多么纷繁复杂，我们都容易理清思路，抓住问题的本质，顺利解决问题。

回到前面的例题。根据上面的两个近似，问题就很清晰了。

对热气球有：F引=■，F向=mω20R3，G0=mg，由第一个近似有：mg=■①。

对人造卫星：由第二个近似有■=m1ω2（R+h）②

由①、②式得：ω=■

（作者单位：广东省连平县连平中学 517100）endprint