善用变式教学，提升几何学习能力

廖发远

摘要：运用变式教学，可以巩固几何概念的教学；还可以层层深化知识；善用模仿变式，能够更好地培养归纳探究能力；利用拓展变式，提升分析问题能力。

关键词：图形变式；递进变式；模仿变式；拓展变式

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）07-0084

变式教学是数学课堂教学的一种重要形式，变式教学有利于学生思维的发展，帮助学生理解、巩固教学内容。在教学中加强变式训练，还可以促使学生的思维向多层次、多方向发散，在问题的解答过程中培养学生归纳、创新的能力，从而真正把学生能力的培养落到实处。在课堂教学中，注重图形的变式巩固概念教学、递进式的变式、关注运動中的变式、注重类比变式，能够有效地促进学生对知识的理解，提升几何分析的能力。

一、注重图形变式，巩固几何概念教学

数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式。正确理解数学概念，是掌握数学知识的前提。几何概念是教学中的难点，需要把文字语言转化为图形语言，不少学生存在困难。注重图形变式，可以帮助学生加深对概念的理解。

例1. 北师大版数学教材七年级（下）同位角的概念，教材中是这样描述的：“如图2—12，具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同位角。没有准确描述，当然也没有要求学生死记硬背。但是把在几何图形转化为代数数量关系，并不是一件容易的事。不少学生，只会就题论题，而无法灵活运用知识。教材上以如图1的形式呈现同位角，看似很简单的问题，如果变换一个图形，部分程度较差的学生可能无法辨认同位角。所以，在教学过程中，我们把图形变换一种形式，仍然考查同位角概念。如图2，

虽然只是一个简单的图形变式，但是却让学生对知识的理解有一种豁然开朗的感觉，不再局限于概念的一种形式，而是对知识有一种全方位的理解和掌握，完成了对概念的理解从片面向全面转化。

二、运用递进变式，层层深化知识

运用递进变式教学，教师可以从简单问题引入，层层递进，由浅入深，由简到繁，循序渐进，螺旋上升，有利于学生对问题本质的深刻理解，进而掌握解题规律，突破教学中的难点，有利于学生形成良好的数学认知结构。它可以激发学生积极思考，深入探究，可以成为培养学生思维能力的重要手段。

例2. 如图，AB=CD，AD=CB，试说明：△ABD≌△CDB。

此例题中，除了运用了AB=DC，AD=CB外，还用到了BC是公共边这一隐含在图形中的条件。由此引导学生寻找全等的条件应该注意到隐含于图形中的条件，如公共边，公共角，对顶角相等，让学生简单体会两个三角形全等判别方法的应用。

由于这是《三角形全等的条件》第一课时，学生初次学习两个三角形全等判别方法，根本没有思路，为了让学生更快地学会运用三角形全等的判别方法，设置一组变式训练，以一个条件变式为主线，引导学生层层深入，构建条件证明全等。

变式1：如图，D是线段BD1的中点，AB=CD1，AD=CD

试说明：△ABD≌△CD1D.

变式中，把BD是公共边这一条件进行变式，变为“D是BD1的中点”这一条件，那么BD=D1D需要提前证明，引导学生学习另一种确定三角形全等条件的方法“已证”，事半功倍。

为了更深入地学会确定三角形全等的条件，再做一次变式。

变式2：如图，点B1，D在线段BD1上，且BB1=D1D，若AB=CD1，AD=CB1，试说明：△ABD≌△CD1B1。

变式中，条件“D是线段BD1的中点”变为“BB1=D1D”，根据等式基本性质1，BB1+B1D=D1D+B1D，即BD=D1B1，开辟了确定两个三角形全等条件的新思路，为以后解决类似问题做了很好的示范。

综上所述，运用递进变式，保持了总体学习方向的延续性，有效巩固知识。同时重点知识递进变式，层层深入，帮助学生逐步提升能力。

三、善用模仿变式，培养归纳探究能力

几何运动类型的问题，通常都是在一个简单图形的基础上进行变式，变式后的问题，通常可以模仿基本问题的解决方法。所以要熟练运用模仿变式，首先必须归纳基本问题的解答思路、解答原理和解答方法。设计模仿变式的问题，也是培养学生归纳能力的良好途径。

例3. 如图1，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，连接AE，BD。

（1）试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由。

（2）若△BCE绕着点C旋转一定角度，如图2，其余条件不变，（1）中结论还成立吗？说明理由。

此例题中，图1是特殊的情况。图2是由图1变化而来，图形类似，方法也非常相近，总结（1）的方法，可以为解答（2）提供思路。解答（1）时用到知识点和方法有：①用SAS证明△ACE≌△DCB；②延长AE交BD于点H，用转化的思想，把求∠DHE转化为与∠ACE对比；③利用全等三角形对应角相等可得∠EDH=∠CAE，根据对顶角相等可得∠DEH=∠AEC，④根据三角形内角和定理可以得到∠DHE=∠ACE=90°。解答（2）时，仿照①用SAS，可以证明△ACE≌△DCB；仿照②，把求∠DHF的问题转化成∠ACF对比；仿照③，运用全等三角形对应角相等和对顶角相等的知识，可得∠FDH=∠CAF，∠DFH=∠AFC；仿照④，根据三角形内角和定理可以得到∠DHF=∠ACF=90°。

总之，解答模仿类型的变式问题，应该首先在简单、基本的问题中总结知识点和方法，然后模仿总结归纳所得，一一对照，可以比较容易地解答变式后的问题。

四、利用拓展变式，提升分析问题能力

数学的变式不是一成不变，研究的方法也在不断发展，通过拓展性的变式，可以提升学生分析问题的能力。endprint

例4. 在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=■∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G。

（1）当点P与点C重合时（如图①）。求证：△BOG≌△POE；

（2）通过观察、测量、猜想：■= ▲ ，并结合图②证明你的猜想；

（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，求■的值。（用含α的式子表示）

本例中，求（2）中■的在（1）中没有铺垫。因此应该引导学生在图①中分析求■的思路。根据经验，求■的值需要利用三角些相似，在图①中以BF，PE为对应边的三角形无法确定。继续探究，①由∠BPE=■∠ACB以及BF⊥PE，可得BF=■BG，②把■转化为■，③利用ASA可證△BOG≌△POE，从而得出BG=PE，④■=■=■。

根据以上研究，解决问题（2）显然需要构造以PE为一边的全等三角形。因此过点P作PM∥AC，交BG于点M，交OB于点N，仿照①由∠BPE=■∠ACB=■∠BPM以及BF⊥PE，可得BF=■BM；仿照②把■转化为■；仿照③利用ASA可证△BNM≌△PNE，从而得出BM=PE；仿照④■=■=■。

问题（3）可以仿照（2）的思路解答，即过点P作PM∥AC，交BG于点M，交OB于点N。仍然可以利用∠BPE=■∠ACB=■∠BPM以及BF⊥PE的条件，得出BF=■BM；但是这里不存在全等关系，根据图形背景的变化，由全等关系变为相似关系，即△BMN∽△PEN，可得■=■=tanα。因此■=■=■tanα。

善于拓展变式教学，能更好地培养学生的创新能力，大大提高学生分析问题、解决问题的能力。

总之，在数学课堂教学中，遵循学生认知发展规律，根据教学内容和目标加强变式训练，对巩固基础、培养思维、提高能力有着重要的作用。教学实践证明，注重概念变式，可以帮助学生加深理解知识；运用递进变式，可以层层深入学习知识；善用变式，可以培养学生归纳探究能力；利用拓展变式训练，可以帮助学生提升分析问题的能力。最关键的是通过例题、习题变式，有利于克服“题海战术”的重复训练倾向，从而减轻学生的过重负担，真正把能力培养落到实处。

参考文献：

[1] 许灵飞.变式教学在初中数学教学中的应用[J].数学学习与研究，2010 （3）.

[2] 王怡蕴.浅谈初中数学课堂教学中的变式教学[J].新课程学习，2012（5）.

（作者单位：福建省三明市梅列区第一实验学校 365000）endprint