运用容斥原理求组合图形的面积

叶秀

[摘 要]有些组合图形是通过相互重叠而形成的，求这类图形的面积用一般的解题方法是比较繁杂的，而借助容斥原理来求解却非常简便。教师要引导学生认真观察，辨明图形的特征，理解图形的构成，正确地运用容斥原理解题。教师要帮助学生构建完整的组合图形知识体系，使学生能够根据不同的情况选择最合理的解法。

[关键词]容斥原理;组合图形;面积

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）26-0042-02

谈到组合图形，人们很容易想到它是由几个基本图形通过拼接或剪切而成的。因而，求组合图形的面积时往往采用基本图形的面积直接相加或相减的方法。但是，有些组合图形并不是通过基本图形拼接或剪切而成的，而是由几个基本图形相互重叠得到的。如果采用上述方法来求这类组合图形的面积，就会非常复杂，而运用容斥原理来求解会非常简便。那么，教师怎样引导学生运用容斥原理求解组合图形的面积呢？

一、认真观察，辨明图形的特征

任何一种好的解题方法都有它的针对性，运用容斥原理求组合图形的面积也有它的针对性。因此，教师要引导学生认真观察组合图形，辨明什么样的组合图形能用容斥原理来求解面积。观察辨明组合图形的特征是运用容斥原理求解组合图形面积的前提。教学中，我给予学生充足的时间观察组合图形，学生通过观察发现：它是由几个基本图形通过重叠在某个基本图形上形成的，而要求的面积往往是这几个基本图形比被重叠的基本图形面积多的部分。

例如，图1中的阴影部分如同4个小花瓣，它是由一个正方形内的4个直径与正方形边长相等的半圆重叠形成的图形。图2中的阴影部分是由分别以一个长方形的长和宽为半径的两个扇形（■圆）重叠的部分和大扇形比长方形多出的部分形成的图形。像这样通过重叠形成的组合图形，运用容斥原理求解面积更简便。

二、动手操作，理解图形的成因

心理学研究表明，小学生的思维是从具体形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡的，他们的抽象逻辑思维还不够成熟，往往要借助直观形象思维的帮助。能够运用容斥原理求面积的这类组合图形的形成过程是比较抽象的，学生很容易朝拼接或剪切的方向去思考解题方法，从而使得问题的求解变得更复杂。只要学生弄清了这类图形的成因，自然就会运用容斥原理来解题。动手操作是非常重要的学习方式，通过动手操作，学生可亲身体验组合图形形成的过程，加深对图形的认识和理解，有利于学生找到正确的解题方法。

例如，求解图1所示图形的阴影部分面积时，教师可先让学生在一张薄纸的中央用虚线画一个边长为10厘米的正方形，然后以正方形的每条边为直径向外画4个半圆（如图3），用剪刀沿实线把图形剪下来，接着将每个半圆沿虚线向正方形内折，4个半圆中每相邻的2个半圆都有一部分会重叠，若把折好的图形对着阳光或灯光一照，就会出现与图1一样的阴影部分图形，从而得知阴影部分的面积就是4个半圆比正方形多出部分的面积。求解图2阴影部分面积时，教师也可让学生先在薄纸上画出并剪下如图4所示的图形，然后把两个扇形（■圆）分别沿虚线向长方形内折，若把折好的图形对着阳光或灯光一照，就会出现如图2的阴影部分图形，从而得知阴影部分的面积就是两个扇形比长方形多出部分的面积。

三、根据原理，求出图形的面积

学生通过动手操作理解了组合图形的形成过程，就能清楚这类组合图形是由几个基本图形重叠在某个基本图形之上，阴影部分的面积就是比被重叠图形多出的部分，同时知道了可以根据容斥原理来求解组合图形的面积，即用基本图形的面积之和减去被重叠图形的面积就是所求组合图形的面积。

例如，如图1，学生明白了阴影部分是4个半圆比正方形多出的面积之后，根据容斥原理，用4个半圆的面积之和（相当于2个圆）减去正方形的面积即可得到阴影部分的面积：3.14×（10÷2）2×2-10×10=57（cm2）。图2中阴影部分的面积是两个扇形面积之和比长方形多出部分的面积，根据容斥原理，可用两个扇形的面积之和减去长方形的面积即可得到阴影部分的面积，即3.14×82×■+3.14×42×■-8×4=30.8（cm2）。

四、动脑思考，发展空间想象力

通过动手操作，学生掌握了组合图形的成因并顺利求出了组合图形的面积。但是，没必要每道题都让学生动手操作，动手是为了不动手，动手操作的目的是为学生思维发展提供一个阶梯。因此，教师在教学中要善于引导学生将动手操作的直观形象升华到数学逻辑思维，从而发展学生的想象力，使学生体验数学学习的乐趣。

例如，在学生通过动手操作求出图1中组合图形的面积之后，教师应引导学生再观察图1，先想象把4个半圆沿正方形的每条边翻转到正方形外面的样子（即图3），再回忆动手操作的过程，想象把4个半圆沿着正方形的4条边折到正方形内，每相邻的两个半圆所重叠的部分就形成了图1中的阴影部分图形。通过这样的训练，学生脑海中就会浮现图形运动变化的过程，他们的空间想象力得到了进一步的发展，以后再遇到类似的图形就不需要动手操作，只要动脑思考，就能在脑海中演绎图形的变化过程，明白图形的成因，顺利地运用容斥原理解题。

又如，在求解图5所示的图形阴影部分面积时，可让学生先观察、思考，在脑海中先想象把图5中的两个扇形分别沿着正方形的左右两条边翻转出来的样子（即图6），再把两个扇形分别沿正方形的边折到正方形里面，由此可知两个扇形所重叠的部分就是图5中阴影部分的面积。而图5中阴影部分的面積就是两个扇形（■圆）面积之和（相当于一个半圆）比正方形面积大的部分，根据容斥原理求得阴影部分的面积为3.14×82×■×2-8×8=36.48（cm2）。

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图5 图6

五、归纳整理，构建完整的知识体系

在学生学会运用容斥原理求解组合图形的面积后，教师还要进一步引导他们构建完整的知识体系，使他们牢固掌握组合图形的形成方法：拼接法、剪切法和重叠法（如图7）。这样，将有关组合图形的知识置于整个几何知识体系，甚至整个数学知识体系之中，可使学生的数学知识体系更加清晰，脉络更加清楚。

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图7

著名数学家华罗庚先生曾经说过：“人之可贵在于能创造性地思维。”在教学中，教师要引导学生创造性地运用各种数学原理和方法来解决一些复杂的数学问题，使枯燥远离数学课堂，构建“处处有创新，时时有惊喜”的趣味课堂，让学生从中体验到数学学习的乐趣。

（责编 黄春香）endprint