从一道课后题看向量的作用

摘 要：向量是现代数学的重要内容，是代数与几何完美结合，把向量渗透到学生的知识体系中，对学生数学思维品质的提升有着明显的作用。然而，向量對于许多学生来讲是比较难于把握的，对向量在刻画复杂几何关系的作用认识不足。本文从一道课后题以及例题，向学生展示向量在解决较为复杂几何关系时的巨大作用。

关键词：平面向量；工具性；作用；几何关系

向量是现代数学中重要的概念，有着深刻的几何背景，向量的引入可以把几何的问题转化为代数计算，把图形的基本性质转化为向量的运算体系。向量是代数、几何与三角函数的沟通桥梁，是数学思想中数形结合的完美体现，笔者在教授人教A版数学必修二的过程中，发现一道课后习题可以较好地体现向量的重要性，同时也可以让学生更好地体会引入向量对计算的便捷性。

一、 呈现真题

学生在学习圆的标准方程后，容易找出AB的中点即为圆心，A，B的距离即为圆的直径。通过圆的标准方程可以得出*式，但要得到最终结果需要较为复杂的化简运算，这就要求学生要具备很强的代数运算能力，显然多数学生还不具备这样的能力。

有部分学生结合直径所对圆周角为直角以及两直线垂直斜率互为负倒数的知识来解答这个问题，已经简化了运算。

该解法计算简洁，很好地体现了向量计算的便捷性。通过这三种解法的比较，学生能够深切体会向量的威力。

二、 再次体会

几何形式与代数形式的统一是向量作为一种工具性的本质原因，一些看似难以找到突破口的几何证明，引入向量后，就可以转化为向量运算的相关问题，很好体现数形结合的思想。

几何对象的位置关系以及几何度量问题可以通过向量的运算来刻画，它可以使图形量化，使图形间关系代数化，进一步降低了教学难度，学生接受起来也比较容易，同时也给学生渗透了一种处理问题的方法—算法化思想。向量成为几何学的基本研究对象，它的存在帮助我们从复杂的图形分析中抽离出来，把焦点放在图形间存在的向量关系上，从而得出精确的最终结论。向量的学习，有助于学生掌握几何问题代数化的方法，领悟数形结合的思想。在解决数学问题时向量显现出强大的工具性，向量方法既是数学思想方法的体现，又为问题的解决提供了广阔的思路。向量与其他知识的交汇，提供了很多解决抽象数学问题的简便方法。

参考文献：

[1]杨国栋.关于高中向量的相关知识板块——提高高考解题思维和能力[J].理科考试研究（高中版），2013-05-01.

[2]贾芬香.平面向量在解析几何中的作用——高三复习课教学案例[J].科技世界，2012（31）.

[3]杨国荣.向量的教学价值[J].科技世界，2012（13）.

作者简介：

黄昭星，广西壮族自治区百色市，祈福高级中学。