基于卡尔曼滤波的改进案均赔款法

苏瑞

【摘要】传统的确定性方法对历史数据要求较高，引入卡尔曼滤波法对准备金估计方法进行随机化处理，估计状态空间的转换参数，对历史错误数据进行一定程度的自动修正，消除历史错误数据对未决赔款准备金估计的影响，提高准备金估计的准确性和稳健性。

【关键词】卡尔曼滤波 案均赔款 马尔科夫

一、概述

未决赔款准备金是保险公司责任准备金中最重要的部分，也是准备金精算师日常工作的主要部分。未决赔款准备金作为非寿险保险公司财务报表中最大的负债科目，而现阶段国内保险公司普遍存在历史数据缺乏以及数据质量不高的问题，因此，为了保证非寿险保险公司的稳健经营，提高准备金估计的精确性具有非常重要的意义。

在诸多未决赔款准备金估计的确定性方法中，案均赔款法对历史信息的利用更加充分，包括赔款数据和案件数，但确定性方法无法判断预测结果的误差，无法度量不确定性风险。因此，本文将卡尔曼滤波法引入到案均赔款法中，预测损失频率和损失程度，得到未决赔款准备金的动态估计，提高估计准确度，为保险公司预留准备金提供依据。

二、传统案均赔款法

案均赔款法通过对赔款案件数和赔款金额的流量表使用链梯法，估计出各案件的最终案件数与案均赔款额，从而计算出最终赔款金额和未决赔款准备金（IBNR）。根据是否已结案，案均赔款法分为已报案案均赔款（PPCI）法和已结案案均赔款（PPCF）法，本文只针对已报案均赔款法进行分析和改进。

记累计已报案赔款为Ci，j，累计已报案件数为Ni，j，首先计算已报案案均赔款Xi，j，

（2.1）

根据已报案案均赔款Xi，j计算逐年进展因子fj及其平均值。

（2.2）

根据进展因子即可预测已报案案均赔款流量三角形的下三角部分，再通过Ni，j利用链梯法预测最终案件数。两流量三角形对应相乘即得最终赔款，减去累计已报案赔款流量三角形的主对角线数据即得未决赔款准备金估计。

三、基于卡尔曼滤波的案均赔款模型

卡尔曼滤波在数学上是一种统计估算方法，通过处理带误差的数据得到的物理参数的最佳估计。通过建立状态空间模型来描述数据的状态参数变化的关系。

设yt是包含k个变量的k×1维可观测向量，这些变量与m×1维向量βt有关，βt即为状态向量。（3.1）被称为“量测方程”。

（3.1）

表示成一阶马尔科夫过程，其状态方程如下：

（3.2）

由于馬尔科夫过程的限制，这里首先需要先将案均赔款法中的累计赔款次数和累计案均赔款金额流量三角形转化为增量数据。

两个流量三角形的每一个支付年都是一个时间序列，形如，增量赔款次数和增量案均赔款金额的观测向量数列分别表示为和。

根据Evans（2017）[1]的研究结果，假设增量扰动项服从正态分布，则损失频率估计的量测方程为

（3.3）

其中，βt是待估计参数向量，Xt是t时刻观测矩阵，υt是t时刻扰动项。James Sullivan（2006）[2]提出赔付变量随进展年m服从关系（3.4）

（3.5）

则量测方程矩阵表示为

其中。

根据式（3.2）可以动态更新β数据，进而得到累计赔款次数和累计案均赔款金额的最终估计值，最终得到未决赔款准备金的最优估计。

参考文献

[1]J.Evans，F.Schmid.Forecasting Workers Compensation Severities and Frequency Using the Kalman Filter.CAS Forum，Winter 2007：43-65.

[2]Greg Taylor，Graine Mc Guire，James Sullivan.Individual Claim Loss Reserving Condituined by Case Estimates.Taylor Fry Consulting Actuaries Paper，2006（11）：1-66.endprint