速解复合函数中的零点个数问题

徐靖婷

摘 要 函数问题中涉及复合函数的题目向来是高中数学考试乃至高考的热点、重点、难点，这种问题考察了学生的逻辑思维能力以及综合理解能力，需要学生冷静的分析，理清层次，熟悉基本题型并能随机应变，复合函数的理解本身就是一个难点，而复合函数中零点个数问题，更是直接反映了学生对该类题的掌握能力，要求较高。

关键词 复合函数 零点个数 问题

中图分类号：G632 文献标识码：A

基本解题思路如下：

（1）辨认复合方程，如：当复合函数F（x）=f2（x）+af（x）+b=0时的这个式子f2（x）+af（x）+b=0就是“复合方程”，而复合函数中零点个数就是这里复合方程的根。当没有明确指出有中间变量时，需要观察，幷设出。

（2）理解并简化，映射x→f（x）→f2（x）+af（x）+b，设中间变量f（x）=u，最终变量f（x）=y，y=u2+au+b=0即。

（3）画图并解出y=u2+au+b=0，解出u1，u2，又u1=f（x1），u2=f（x2）分别解得x1，x2

而在具体问题中，想要一点不出错，也并不是一件易事，下面，就让我们以几个题目为例来探讨一下如何才能对这类题做到“快、准、狠”。

例1、（2005年上海考题）设定义域为R的函数，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c有7个不同实数解的充要条件是。

分析：由题意得，函数f（x）是具体的，应先画出，根据图像分析方程f2（x）+bf（x）+c=0的解的情况，讨论两同根或两异根，根据图像写范围，得解

画出图像如下：

f2（x）+bf（x）+c=0，设f（x）=u，

则u2+bu+c=0

I当u1=u2=u0，不可能有7个x满足，舍

II当有两解u1，u2时，u1=0，u2>0即，u1 u2=c=0，u1+u2=-b>0，故c=0，b<0

综上可知：充要条件是c=0，b<0。

评注：解决本题关键是图像要画对，几十分类讨论，利用根与系数关系得出最后答案，掌握了方法，此题很简单，也就是说，本题是——画图，观察。

例2、若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是。

分析：极值点是导函数的穿越点零点，观察并理解得：f（x）导函数的f'（x）x的图像与目标函数3（f（x））2+2af（x）+b=0的图像形状一样，则极值点的值就是目标函数的零点。

解：f（x）求导得：f'（x）=3x2+2ax2+b，3x2+2ax+b=0，两根为x1，x2，可列如下表格：

由表格得以下图像：

设：中间变量为u，则3u2+2au+bu=0的两根u1=x1，u2=x2由右图得：当f（x）的函数值，即u为x1，x2时，对应的x值共有3个。

评注：本题多了一个单调性的判断，也就多了一个导函数，更加令人条理不清，本题是——分析，画图，观察。

例3、（2006年湖北高考理科）关于的方程（x21）|x1|+k=0，给出下列四个命题：

①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；

其中假命题的个数是（ ）

分析：本题没有直接指明复合函数的存在，但原函数不可能直接画出判断根，仍要设出中间变量，变为复合函数便讨论。

解：设f（x）=|x21|=u，画出图像F（x）=u2u+k。方程u2u+k，△=14k，

k>时，△<0，无解

时k=时，u=，x有4解，

当k<时，有u1，u2两解，设u1

00， u1 u2=1， （下转第214页）（上接第152页）∴0

k=0时，u1 u2=0，u1+u2=1，∴u1=0，u21=1，x有5解

k<0时，∴u1 u2<0，u1<0，u2>1，x有2解

綜上所述：其中假命题的个数是0个。

评述：必须把复合函数的思想牢记在心，准确画出中间变量的图形，并对参数进行讨论，善用根与系数关系，思维缜密才可全部解除。本题为——设中间变量，画图，讨论。

再明白以上三个例题以后，对于复合函数中零点个数问题，相信读者们已经不再害怕了，只需清理映射关系，画出中间变量的函数图像，再加以讨论即可，而题目往往会在几个关键之处设陷，需要学生抓住题目本质，对复合函数的模型很熟悉。下面，让我们通过一个练习巩固以上知识。

练习：函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象关于直线x=对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解集都不可能是？（ ）

A.{1，2} B.{1，4} C.{1，2，3，4} D.{1，4，16，64}

分析：本题条件相当抽象，两个人任意二次函数的映射。但很明显是复合函数。观察选项可知：本题考的是二次函数的相关性质，及对称性。如果是两个解，中间变量定只有一解，任意都可以取，对称轴任意；如果有四个解，中间变量就是两个解，这四个的某个组合必须出现两个相同的对称抽。

解：由分析可知：两个解必满足。排除A，B

C中1+4=2+3，二者对称轴相同，满足f（x）图像，同理，D不满足。

故选择D

评述：如果对复合函数理解到位了，此题手到擒来，必能做到“快准狠”。由此可见，复合函数零点个数问题，只要掌握了以上方法，是可以速解的。