借助一题多解提升教学效果
2017-09-13李正耀冯建中��
李正耀 冯建中��
摘要:对于高等数学课程中的一些典型例题,通过一题多解可以从各个方面来研究讨论其解法,可以帮助学生梳理知识难点,培养学生发散思维能力,激发学生学习积极性,显著提升教学效果。
关键词:一题多解;高等数学;教学效果
中图分类号:G4文献标识码:Adoi:10.19311/j.cnki.16723198.2017.22.088
1引言
《高等数学》是高等院校通用专业一门非常重要的学位基础课,其思想和方法贯穿到各专业后续专业课程的方方面面。但是,该课程存在知识点众多、题目计算复杂、题型复杂多变等显著特点,往往会引起同学们的厌学情绪。一题多解是一种发散性解题思维,通过典型例题的一题多解讨论分析,能激发学生的学习热情,提升教学效果。
2一题多解在《高等数学》课程教学中的具体应用
例1计算limx→0cosax-cosbxx2。
法一:这是典型的00型积分计算,可以采用洛必达法则计算:
limx→0cosax-cosbxx2=limx→0bsinbx-asinax2x=limx→0b2cosbx-a2cosax2=b2-a22
法二:表达式分子可以理解为余弦之差,利用和差化积公式以及等价无穷小代换可得:
limx→0cosax-cosbxx2=limx→0-2sina+b2xsina-b2xx2=limx→0-2a+b2xa-b2xx2=b2-a22
法三:利用cosx的泰勒展式cosx=1-x22+o(x2),可以得到:
limx→0cosax-cosbxx2
=limx→01-(ax)22+o(x2)-1-(bx)22+o(x2)x2
=limx→0(bx)22-(ax)22+o(x2)x2=b2-a22
例2求不定积分∫secxdx。
法一:∫secxdx=∫1cosxdx=∫cosx1-sin2xdx=12∫11+sinx+11-sinxdsinx
=12ln1+sinx-12ln1-sinx+c=12ln1+sinx1-sinx+c
=ln1+sinxcosx+c=lnsecx+tanx+c
法二:也可直接利用∫cscxdx=lntanx2+c得到一种新的解法:
∫secxdx=∫1cosxdx=∫1sin(x+π2)dx=∫csc(x+π2)dx=lntan(x2+π4)+c
法三:利用万能公式代换,可以有如下解法:
令y=tanx2,则dx=2dy1+y2,cosx=1-y21+y2,此时
∫secxdx=∫1cosxdx=∫1+y21-y2·2dy1+y2=∫11+y+11-ydy=ln1+y1-y+c
=ln1+tanx21-tanx2+c=ln1+sinxcosx+c=lnsecx+tanx+c
法四:利用tan′x=sec2x,sec′x=secxtanx,可做如下换元,令y=secx+tanx,dy=sec2x+secxtanxdx:
∫secxdx=∫secx·dysec2x+secxtanx=∫dysecx+tanx
=∫dyy=lny+c=lnsecx+tanx+c
分析:这是高等数学中关于三角函数的基础积分计算题,通过本题多解,可以引导学生寻曲探幽,久而久之,最后可以形成学生自己的推理能力,应用知识的能力,在实践中得出最佳解题方法,实现从感性认识到理性认识的飞跃。
例3写出直线l:3x-4y+5z+6=02x-5y+z-1=0的对称式方程。
法一:由直線的点向式要求可知,我们只要找到直线上的任意一点以及其方向向量即可。观察直线方程消去变量z,可得7x-21y=11,再令y=1可解出该直线上一点327,1,-227。由于两平面的交线与这两平面的法线向量n1={3,-4,5},n2={2,-5,1}都垂直,所以可取
s=n1×n2={3,-4,5}×{2,-5,1}={21,7,-7}=7{3,1,-1}
故该直线的对称式方程为:x-3273=y-11=z+227-1
法二:结合方法一,再令y=2,可得该直线另一点为537,2,-297;所以该直线过
327,1,-227、537,2,-297两点,其方向向量可取:
s=537,2,-297-327,1,-227=(3,1,-1)
故该直线的对称式方程为:x-3273=y-11=z+227-1
法三:直接把变量x作为基础,解出x=x,x=21y+117,x=-21y-347,所以此时直线方程为:l:x1=21y+117=-21y-347
最后化简可得该直线的对称式方程为:
l:x3=y+11211=z+3421-1
3结论
在高等数学课程教学中,通过以上典型例题的一题多解方法讨论,激发了学生的学习积极性,加深了对于这些知识点的理解与运用,开拓了学生的思维,对于整个高等数学课程教学都大有裨益,能显著提升教学效果。
参考文献
[1]同济大学数学系编.高等数学[M].上海:同济大学出版社,2014.
[2]董锦华,耿秀荣.高等数学一题多解样例教学中的变式思维[J].贵州工程应用技术学院学报,2016,34(1):132138.
[3]冯建中.一题多解在复变函数教学中的应用研究[J].现代商贸工业,2012,(20):133134.endprint