浅谈数学中导数的概念及导数的应用

谭清华

摘 要：本文以导数概念作为切入点，阐述导数在几何知识和函数知识中的应用。

关键词：数学 导数概念 导数应用

引言

导数概念是数学分析基本概念，是近代数学的重要基础，也是学习高等数学的基础所在。在中学数学中，导数被广泛应用，是历年高考数学的重点内容。掌握导数的基础知识和应用技能，以便更好地解决中学数学问题，一直以来是中学教师和学生的关注的重点所在。但是由于导数具有抽象、复杂等特点，对学生而言仍是学习数学中的一个难点知识，何况导数还与几何知识、函数知识等其他知识之间有着紧密的联系。学好导数知识是一线中学数学教师所要面对的重要问题，也是数学教学的基础要求。

一、导数的概念

导数是数学领域中的重要概念，隶属于微积分的范畴。导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率[1]。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f（x0）。认识到导数，对于函数的增减性的认识和学习具有重要的意义。一般而言，y=f（x）在（a，b）数值范围内可导，如果在（a，b）范围内，f（x）的取值始终大于零

二、导数的应用

1.导数在几何方面的应用

在几何学习中，导数具有重要的作用和意义。应用导数概念来认识和学习相关的几何知识是导数概念的重要拓展，更是数学学习中的重点内容。微积分学习的重点知识便是导数，导数与数轴之间有着紧密的联系，在一定区域内的x的取值依据相应的规律都有相对应的y值，具体而言便是设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有着一定的定义，当自变量x在在这个区域取值的时候，都有相应地函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）。函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义表示函数曲线在点P0（x0，f（x0））处的切线的斜率。可见，求导的函数一定是连续的，不连续的函数是不能进行求导的[2]。在几何知识中，认识曲线的切线时，由于切线方程与坐标数轴之间是一一对应的。在求解曲线方程式，既可以通过导数进行求解，以便得到区现在一直点的切线的斜率，也可以假设已知切线的斜率和对应切点的坐标，是应用点斜式来求出相应的切线方程。

如图1，曲线C是函数y=f（x）的图象，P（x0，y0）是曲线C上的任意一点，Q（x0+Δx，y0+Δy）为P邻近一点，PQ为C的割线，PM//x轴，QM//y轴，β为PQ的倾斜角.

当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P逐渐转动的情况，也就是说，当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时，割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线。设切线的倾斜角为α，那么当Δx→0时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率。这个概念为求曲线上某点切线的斜率提供了一种方法，同时也直接阐述了切线斜率的本质—函数在x=x0处的导数。

如实例：求曲线y=f（x）=x2+1在点P（1，2）处的切线方程.

因此，切线方程为y-2=2（x-1），即y=2x.

可见，要求曲线在某点处的切线方程的时候，可以按照这种思路进行解答，“先利用切线斜率的定义求出切线的斜率，然后利用点斜式求切线方程”。

三、在函数方面的应用

1.函数的单调性问题

在函数的学习过程中，应用导数来认识和判断函数的增减性，具有重要的现实意义和作用。这也是导数在变化曲线中的一种几何意义的应用。根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减。从函数的某个区间内来看，f′（x）>0（f′（x）<0）是函数f（x）在此区间内为增（减）函数的充分条件，而不是必要条件。若是在求值过程中，出现f′（x）=0的情况，不会影响函数f（x）在包含该点的某个区间内的单调性。例如函数f（x）=x3在定义域（-∞，+∞）上是增函数，但由f′（x）=3x2知，f′（0）=0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′（x）>0。可导函数f（x）在（a，b）上是增（减）函數的充要条件是：对任意的x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0），且f′（x）在（a，b）的任何子区间内都不恒等于零。

例 函数（且）的单调性

解：函数定义域为R.

当时，

∴函数在上是增函数.

当时，

∴函数在上是减函数.

2.函数的极值问题

函数的极值是指函数f（x）在x取值范围内有定义，如果x=x0处的函数值是x取值范围内的函数值都大，即f（x）f（x0），则称 f（x0）是函数y=f（x）的一个极小值。最大值和最小值在函数中称之为极值。极值是一个局部概念，反映了函数在某一点附近的大小情况。应用导数求函数的极值，应该掌握以下几点：第一点是要明确函数的定义域，第二点能够求出相应相应的导数，第三定能够在相应的定义域有效地求出实根，第四组中驻点左右之间的符号。

结语

导数作为数学学学科中的重要组成成分，认识和掌握导数在学习数学过程中有着重要的作用和意义。导数具有抽象性、复杂性等特点，要学好导数，首先就要掌握导数的基本概念，从基本概念出发，掌握求导公式和求导法则，便于有效的解决数学问题。在数学学习过程中，不难发现，导数知识与函数知识、几何知识有着密切联系，掌握好导数知识有助于学好其他知识。因而，在数学学习过程中，掌握导数知识显得尤为重要。

参考文献

[1]谢楚舒. 高中数学中导数的概念及导数的应用[J]. 环球市场信息导报， 2016，12（33）：98-98.

[2]张孟， 李小春. 导数的定义在考研数学中的应用[J]. 当代教育实践与教学研究：电子版， 2016，11（06）：159-160.