例谈用锐角三角函数求线段的长

禚鹏

求線段长度的题目很多，方法也很多，比如利用全等三角形的性质、勾股定理、利用相似三角形的性质等。本文只讨论如何应用锐角三角函数来求线段的长度，下面举例说明。

例1：

（1）如图，为测楼房BC的高度，在距楼房30米的A处测得楼顶的仰角为，则楼高BC为 米？

（2）在△ABC中，∠C=90゜，AB=15，sinA=，则BC=

（3）在△ABC中，∠C=90゜，AC=15，cosA=，则AB=

以上3个小题的共同特点是，在直角三角形中，已知一边和一锐角的某个三角函数值，求另外未知的边长。这是解决更复杂求长度问题的基础。

例2：在△ABC中，AB=15，AC=，sinB=，求BC的长。

解析：过A做AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，例2图由AD=ABsinB 得AD，再由勾股定理得BD=，在Rt△ADC中，由CD=得到CD的长，再据BC=BD+CD即可求得CD的长度。

注：本例所给图形并非是一个直角三角形，通过做垂线的方法，构造直角三角形，然后即可利用锐角三角函数求解。此即“化斜为直”。

例3：根据图中所给的数据，求避雷针CD的长。

解析：在Rt△ABC中，BC=ABtan30゜，在Rt△ABD中，BD=ABtan45゜，CD=BD-BC

注：本例是在两个直角三角形中，分别已知一边一角，求得另一条边长。

例4：如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30゜，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45゜，求高楼AB的高度。

解析：∵DC=60，DC=DB-CB，又∵DB=CB=∴由方程

60=-可解得AB

注：本例虽然也有两个直角三角形，但是在其中任何一个直角三角形中，都不能直接解出边长，需要设未知数，用“方程思想”求解。

例5：某绿地的形状如图所示，其中∠A=60゜，AB⊥BC，CD⊥AD，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长度。

解析：本例做辅助线的方法有多种，图示如下：

虽然辅助线的做法不同，但是都会出现两个直角三角形，需要分别解两个直角三角形可得。其中若如图1所示做辅助线，还需列方程求解，在Rt△BCE中，∵∠E=30゜，BE=BC，CE=2BC，∴在Rt△ADE中，由=cos30゜得，解此方程即可得BC，再由AD=AE得AD。

由以上几例的解析可以看出，利用锐角三角函数求线段的长，关键是找到或构造直角三角形，而且在这个直角三角形中，任何一条边的长可以由另一条边的长和其中一个锐角的某一个三角函数值表示。从而直接或列方程可得所求线段的长。endprint