基于模型预测控制的智能汽车目标路径跟踪方法研究＊

段建民 田晓生 夏天 宋志雪

（北京工业大学，北京 100022）

基于模型预测控制的智能汽车目标路径跟踪方法研究＊

段建民 田晓生 夏天 宋志雪

（北京工业大学，北京 100022）

为避免智能汽车在目标路径跟踪过程中发生侧滑，改善自动驾驶性能，通过改进目标函数、增加轮胎侧偏角动力学约束，以车辆动力学模型作为模型预测控制的预测模型，提出了一种改进的智能汽车目标路径跟踪方法。在CarSim与MATLAB/Simulink联合仿真平台对该方法进行了验证，结果表明，该方法有效地降低了智能汽车跟踪目标路径时发生侧滑的几率，提高了智能汽车目标路径跟踪的准确性和安全性。

1 前言

路径跟踪指无人驾驶车辆沿着设定的路径安全、稳定、准确地行驶，其性能直接影响智能车自主行驶的能力[1]。早期的路径跟踪控制方法（如纯跟踪算法Pure pursuit[2]、环形预瞄法Circular Look-Ahead[3]等）使用几何方法进行路径跟踪，但不同于以往的四轮机器人，车辆由于尺寸较大，受最小转弯半径、最大角速度等动力学条件的约束[4]，传统的基于几何的路径跟踪方法并不能很好地解决车辆的这些约束问题。

基于模型预测控制的路径跟踪控制算法已在国内外得到了广泛应用，文献[4]依据被控对象的运动学模型，对系统状态量的偏差和控制量进行优化，该方法虽简单实用，但无法对每个采样周期内的控制增量进行限制，无法避免被控系统状态量发生突变。文献[5]对该系统的空间方程进行了转换，实现了对控制增量的约束，但仍采用车辆运动学模型，不能对车辆动力学指标进行约束，无法满足车辆的安全行驶要求。文献[6]提出了基于线性时变动力学模型预测控制的路径跟踪算法，但并未考虑到车辆在高速行驶时的稳定性问题，只对状态量进行约束，没有对车辆进行动力学约束。

本文针对以上路径跟踪研究中存在的问题，以车辆动力学模型作为预测模型，充分发挥模型预测控制解决多约束问题的优点，通过改进优化目标函数减少优化目标的数量来提高控制算法的实时性，通过加入车轮侧偏角的动力学约束来提高智能车跟踪目标路径时的平稳性和安全性。

2 车辆动力学模型及其线性化

2.1 车辆动力学模型

本文用车辆四轮模型来分析车辆在运动过程中的受力情况[7]，为简化计算，假设车辆在水平路面上行驶，不考虑横向和纵向空气阻力。满足以上条件的车辆动力学模型如图1所示，其中，oxy为车体坐标系，规定x轴正向为车头方向，y轴为车体横向，OXY为大地坐标系。

图1 车辆动力学模型

根据牛顿第二定律，分别得到沿x轴、y轴和绕z轴的受力平衡方程：

式中，a、b分别为质心到前、后轴的距离；m为车辆的质量；Iz为车辆绕z轴的转动惯量；φ为车辆航向角；Fxf、Fxr为车辆前、后车轮受到的x方向的力；Fyf、Fyr为车辆前、后车轮受到的y方向的力。

经过简化整理，可以得到较小前轮偏角假设下的车辆动力学非线性模型：

式中，Ccf、Ccr分别为车辆前、后轮侧偏刚度；Clf、Clr分别为车辆前、后轮轮胎纵向刚度；δf为前轮偏角；sf、sr分别为前、后轮滑移率；X、Y分别为惯性坐标系坐标下车辆坐标。

2.2 模型线性化

由于智能车在高速行驶过程中对车辆运动控制器实时性要求很高，非线性模型预测控制难以满足，因此，在参考点进行泰勒展开并只保留一阶项，将车辆的动力学模型线性化。

2.3 状态空间方程转换

线性化得到的空间状态方程中，udyn（t）是车辆的控制量，以这种形式的空间状态方程得到的预测方程并不能对车辆控制量的增量进行有效的约束，因此还需要对上一节线性化后的空间状态方程进行进一步转换。

本文取状态变量

结合式（5）和式（6），可以得到新的状态空间方程：

3 模型预测控制器

模型预测控制器作为车辆路径跟踪的决策机构，通过状态采集器获取上一时刻车辆状态，通过预测模型对车辆预测时域内的状态进行预测，构建二次型目标函数，并结合约束条件，优化求解得到控制时域内各个周期的控制量，最后将控制序列的第一个元素作用于车辆，在下一个采样时刻重新获取车辆的状态，继续进行下一轮的滚动优化[8]。智能车模型预测控制原理如图2所示。

图2 模型预测控制原理

3.1 目标函数设计

在智能车的目标路径跟踪中，目标函数的作用是使其准确、快速地跟随目标路径。因此，目标函数必须包含系统的状态量和控制量。参考文献[4]，目标函数为：

式中，Xdyn为状态量；Q为状态加权矩阵；u为输入控制量；R为控制加权矩阵；P为预测时域。

该形式的目标函数使用系统状态量和控制量进行优化求解，当系统使用动力学空间状态模型时，由于约束量较多，会导致系统计算时间成本过高，而直接使用系统控制量来进行约束也会导致无法对控制增量进行有效约束[9]。因此，本文采用的模型预测控制器目标函数为：

式中，ηdyn为输出量；ηdyn,ref为输出量参考量；Δudyn为控制偏差增量；ρ为松弛因子权重系数；N为控制时域。

由于使用的是车辆动力学模型，并且增加了约束条件的数量，为了避免无最优解情况的出现，为目标函数添加了松弛因子ε[10]。

结合式（7）和式（9），消除系统状态量ξ（k,t）可得：

3.2 条件约束

模型预测控制最突出的特点就是能很方便地处理多约束问题[11]，为了保证智能车平稳地跟踪目标路径，本文采用前轮偏角约束、前轮偏角增量约束以及轮胎侧偏角动力学约束。

3.2.1 前轮偏角及其增量约束

对于车辆的前轮偏角和前轮偏角增量的约束，可以根据车辆的实际物理参数进行设置。控制量约束表达式为：

控制增量约束的表达式为：

在目标函数以及约束条件中，被优化变量为控制时域内的控制增量，因此，控制量要首先转化为Δu的矩阵形式。

由控制增量和控制量的关系可得：

将式（11）转化为Umin≤A∆U+Ut≤Umax的形式，其中，

控制量和控制增量的约束能够保证模型预测控制器生成的控制输出是物理可实现的，但为了保证智能车在道路上的平稳、安全行驶，还需要增加车辆的动力学约束。

3.2.2 轮胎侧偏角动力学约束

智能车在行驶时，可能因路面湿滑或者转弯过急而导致车辆发生侧滑，进而引发各种事故。因此，增加车辆动力学约束、降低车辆发生侧滑的可能性尤为重要。

[12]可知，车辆的侧滑和轮胎侧偏角密切相关。当车辆在水平道路直线行驶时，轮胎侧偏角α=0；当轮胎受到横向的力发生弹性形变而未发生侧滑时，α≤αmax；当轮胎受到横向的力过大而导致车辆侧滑时，α＞αmax。由此可以得出，车辆轮胎的侧偏角直接反映了车辆是否发生侧滑，限制了轮胎侧偏角就限制了侧滑的发生。

而由于建立的车辆动力学空间方程并没有将轮胎侧偏角作为状态量，无法对轮胎侧偏角进行直接约束，所以本文需要寻找轮胎侧偏角与状态量ξ（k,t）之间的关系，通过对状态量施加特定关系的约束来达到约束轮胎侧偏角的目的。

由车辆动力学模型中各速度之间的关系可得轮胎侧偏角为：

式中，vc和vl分别为轮胎的横向和纵向速度。

vc和vl又可以通过车辆坐标系的速度vx和vy来表示：

但由于vx和vy仍然不是系统的状态量，因此还要经过转换：

式中，vxf、vxr、vyf、vyr分别为车身坐标系下前、后轮x方向速度以及前、后轮y方向速度。

对式（14）～式（16）进行简化和合并，可得轮胎前、后轮侧偏角为：

以ξdyn为状态量，以udyn为控制量，对上式进行线性化，可得：

式中，α=[αfαr]T为轮胎侧偏角矩阵；F=[-1 0]T为直接传递矩阵；为输出矩阵。

对式（18）进行空间转换，可得：

综合以上目标函数和约束条件，基于动力学模型预测控制器的优化问题可描述为：

对于式（20）的优化问题，可以转换为二次规划的问题[13]，由于优化问题的约束条件都是不等式约束，因此二次规划的问题采用有效集方法便可以得到优化问题的最终可行解。

4 仿真验证

为了测试改进模型预测控制的智能汽车路径跟踪方法的效果，在以CarSim与MATLAB/Simulink构建的联合仿真平台上进行了仿真验证。

4.1 仿真平台设计

该仿真平台由CarSim提供车辆动力学模块，通过MATLAB语言编写S函数作为系统控制器，在Simulink中进行整体结构的搭建。仿真平台系统结构如图3所示。

图3 仿真系统结构

本文CarSim车辆动力学模型以北京工业大学BJUT-IV无人驾驶车辆平台为原型。通过测量，该车整车质量为680 kg；质心与前、后轴的距离分别为1 250 mm和1 000 mm；质心高度为540 mm；轮距为1 230 mm；滚动阻力系数为0.015；空气阻力系数为0.8（电动观光车外形）。

为有效检验控制算法的动力学性能，跟踪路径选择双移线曲线，双移线曲线测试是国际标准的车辆稳定性能的测试项目，也被称为动态翻滚测试，是包括转向角快速逆转的激烈转向路线测试，以双移线作为测试跟踪路径，能更好地检测控制算法的稳定性[14]。双移线曲线如图4所示。

图4 双移线曲线

4.2 仿真方法及结果

4.2.1 有、无轮胎测偏角约束对比验证

为了验证改进模型预测控制的智能车路径跟踪方法在湿滑道路状况下的控制效果，对有轮胎侧偏角约束和无轮胎侧偏角约束的两种控制方法进行了3组对比仿真。

3组对比仿真均以道路附着系数为变量，在车速（15 m/s）、参考路线（双移线）等条件都相同的情况下，探究有车轮侧偏角约束控制器和无车轮侧偏角约束控制器时的行驶效果。

由文献[6]可知，车辆正常行驶的干燥道路附着系数的取值范围为0.7～1.0，湿滑道路的附着系数约为0.4，因此在仿真中，为符合道路实际情况，设置道路附着系数范围为0.3≤μ≤0.8。

分别设置路面附着系数为0.8、0.5、0.3，添加和未添加轮胎侧偏角约束的仿真结果如图5所示。

由图5可知：当道路附着系数为0.8和0.5时，由于道路附着条件相对较好，车辆均能够很好地跟随参考轨迹，车辆的前轮侧偏角小于0.15°，有、无车轮侧偏角约束曲线基本重合。

当道路附着系数为0.3时，道路附着条件已相对较差。由图5a中μ=0.3无车轮侧偏角约束的位移曲线可知，试验车辆在x=50 m附近转过第1个急弯之后，由于道路较为光滑，出现了比较严重的侧滑现象，而有车轮侧偏角约束的位移曲线相对更好地跟踪了目标轨迹。在x=100 m附近，未进行轮胎侧偏角约束的车辆由于路径偏差过大，逐渐失去了路径跟踪能力，发生车道偏离，而有轮胎侧偏角约束的车辆通过对车辆的控制，目标路径跟踪偏差在x=175 m附近减小为零。由图5b中μ=0.3对比曲线可知，在约第6 000个控制周期时，无轮胎侧偏角约束的车辆的由于转弯不当，导致车身在湿滑的道路上发生旋转，侧偏角偏差不断增大，车辆失去控制能力，而有轮胎侧偏角约束的车辆在车头左右摆动之后，航向角偏差逐渐减小为零。由图5c中μ=0.3的对比曲线可知，在开始阶段，无轮胎侧偏角约束的车辆侧滑程度较有轮胎侧偏角约束的车辆大，车辆仍处于可控阶段，而在后半段，开始发生严重的侧滑，处于不可控状态。有轮胎侧偏角约束的车辆在急速转向时发生了侧滑，但侧偏角度始终未超过0.5°，随后进入平稳路段，侧偏角度逐渐减小为零。

图5 仿真结果

4.2.2 车辆速度对比仿真

为了检验基于改进模型预测控制的智能汽车路径跟踪方法对于车速的鲁棒性以及控制算法的实时性，采用接近正常行驶路面的附着系数为0.8的道路，在其它条件都相同的条件下，使车辆分别以10 m/s、20 m/s、25 m/s的速度在双移线道路行驶，观察车辆的跟踪性能以及控制算法消耗的时间。

不同车速下车辆的行驶轨迹如图6所示。由图6可以看出，车辆在10 m/s、20 m/s车速工况下可以较好地跟随目标路径，当行驶速度为25 m/s时，虽然出现较大的侧滑导致跟踪出现偏差，但车辆仍处于可控状态。

图6 车辆轨迹

不同车速下控制算法消耗的时间如图7所示。由图7可知，不同车速条件没有很大程度影响控制算法耗时间。除1个特殊控制周期外，控制算法消耗的时间大部分在13～25 ms范围内。

图7 计算时间

5 结束语

本文提出的智能汽车路径跟踪方法不仅在道路附着系数较高时能够有效降低轮胎侧偏角，在道路附着系数较低时有效减轻车辆侧滑程度，降低智能汽车目标路径跟踪时因跟踪偏差过大导致失控情况发生的几率，而且在不同车速下都有较好的跟踪效果，具有速度的鲁棒性，同时具有良好的实时性。

下一步将继续改进模型预测控制的目标函数，简化算法的复杂度，并引入对解算时间的监控，避免出现个别周期过长的情况；同时将考虑引入乘客舒适度约束，提高智能车路径跟踪的舒适性和实用性。

参考文献

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14 Falcone P.Nonlinear model Predictive Control for Autono⁃mous Vehicles：[dissertation].Benevento：Universitadel Sannio，2007.

（责任编辑 斛 畔）

修改稿收到日期为2017年5月9日。

Research on Target Path Tracking Method of Intelligent Vehicle Based on Model Predictive Control

Duan Jianmin,Tian Xiaosheng,Xia Tian,Song Zhixue
（Beijing University of Technology,Beijing 100022）

To avoid the occurrence of vehicles’side-slip and improve the performance of automatic drive during target path tracking,an improved intelligent vehicle target path tracking method was proposed.In this proposed method,the vehicle dynamics model was used as the predictive control model,the objective function was improved and the dynamic constraint of the tire slip angle was added.This proposed method was validated on the co-simulation platform constructed by CarSim and MATLAB/Simulink.The results show that the proposed method can reduce the probability of side-slip during target path tracking,and improve the tracking accuracy and safety of the intelligent vehicle target path tracking.

Intelligent vehicle,Target path tracking,CarSim/Simulink co-simulation,Model predictive control

智能汽车 目标路径跟踪 CarSim/Simulink联合仿真 模型预测控制

U467.1 文献标识码：A 文章编号：1000-3703（2017）08-0006-06

北京市属高等学校人才强教计划资助项目（038000543117004）。