函数连续、可导与可微之间的关系
2017-09-11刘春燕
摘 要:本文分别就一元函数与二元函数连续、可导与可微之间的关系进行梳理,并给出相应的定理、实例及证明,旨在帮学生理清函数连续、可导与可微之间的关系。
关键词:函数;连续;可导;可微;一元;二元
高等数学中的一道常考题为:二元函数
[f(x,y)xyx2+y2(x,y)≠(0,0)0x,y=(0,0)]在点(0,0)处是否连续,偏导数是否存在?通常以选择题的形式出现,但是每次考查,得分率一直都不理想的原因在于学生没有理清函数连续、可导与可微之间的关系。本文旨在帮学生理清函数连续、可导与可微之间的关系。
一、一元函数连续、可导与可微之间的关系
1.一元函数连续是可导的必要非充分条件,即函数可导一定连续,但函数连续却不一定可导。
定理1【1】如果函数y=f(x)在x0处可导,则f(x)在x0处必连续。
证明:因为函数y=f(x)在x0处可导,即[limVx→0VyVx=A],由具有极限的变量与无穷小的关系知:[VyVx=A+?](其中[?]为当[Vy0]时的无穷小),即Vy=AVx+[?Vx],所以[limvx→0VY=0],即f(x)在x0处连续。
例1[fx=x]在x=0处连续却不可导。
证明:因为[limx→0fx=limx→0x=0],[limx→0+fx=limx→0+x=0],[f0=0=0],即[limx→0-fx=limx→0+x=f(0)],所以[fx=x]在x=0处连续。又因为
[f'-0=limh→0-f0+h-f(0)h=limh→0-0+h-0h=limh→0--hh=-1],
[f'+0=limh→0+f0+h-f(0)h=limh→0+0+h-0h=limh→0+hh=1],[f'-0≠f'+0],
所以[fx=x]在x=0处不可导。即[fx=x]在x=0处连续却不可导。
2.一元函数可微与可导是等价的。
定理2【1】函数y=f(x)在x0处可微的充要条件是函数f(x)在x0处可导。
证明:(必要性)因为y=f(x)在x0处可微,则Vy=AVx+0(Vx),即[VyVx=A+0(Vx)Vx],于是,当Vx→0时,[A=limVx→0VyVxf(x0)]。
(充分性)若函数y=f(x)在x0处可导,则[limVx→0VyVx=f'(x0)]存在,根据极限与无穷小的关系,则[VyVx=f'x0+?](其中[?]为当Vx→0时的无穷小),即vy=f(x0)vx+[?VX],这里[f'(x0)]是与[Vx]无关的常数,而[?VX]是Vx→0时的高阶无穷小,故函数y=f(x)在x0处可微。
3.一元函数可微与可导是等价的,顯然,一元函数连续也是可微的必要非充分条件。
二、二元函数连续、可导与可微之间的关系
1.二元函数连续与可导之间没有必然联系。
例2二元函数[f(x,y)xyx2+y2(x,y)≠(0,0)0x,y=(0,0)]在点(0,0)处不连续,但偏导数存在。
证明:因为当动点P(x,y)沿路径y=kx趋于(0,0)点时,有[limx→0y→0xyx2+y2=limx→0kx2x2+(kx)2=limx→0k1+k2],当k取不同值时,函数趋于不同的常数,所以该函数当(x,y)→(0,0)时极限不存在,从而f(x,y)在点(0,0)处不连续,
因为[fx0,0=limVx→0f0+Vx,0-f(0,0)Vx=0],
[fy0,0=limVy→0f0,0+Vy-f(0,0)Vy=0],
所以f(x,y)在点(0,0)处偏导数存在。
例3二元函数[fx,y=sinx2+y2]在点(0,0)处连续,但偏导数不存在。
证明:因为[limx→0y→0fx,y=limx→0y→0sinx2+y2=0=f(0,0)],所以[fx,y=sinx2+y2]在点(0,0)处连续。
因为[fx0,0=limVx→0f0+Vx,0-f(0,0)Vx=limVx→0sinVxVx]不存在,
[fy0,0=limVy→0f0,0+Vy-f(0,0)Vy=limVy→0sinVyVy]也不存在,所以f(x,y)在点(0,0)处偏导数不存在。
2.二元函数可微是可导的充分不必要条件。
定理3【2】若函数z=f(x,y)在P(x0,y0)处可微分,则函数在P(x0,y0)处的偏导数[?z?x]和[?z?y]存在,且函数z=f(x,y)在P(x0,y0)处的全微分为:dz=fx(x0,y0)Vx+fy(x0,y0)Vy=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy。
证明:因为函数z=f(x,y)在P(x0,y0)处可微分,由全微分的定义知,Vz=f(x0+Vx,y0+Vy)-f(x0,y0)=AVx+BVy+0(ρ),其中ρ=[(Vx)2+(Vy)2]。当Vy=0时,Vz=f(x0+Vx,y0)-f(x0,y0)=Vxz=AVx+0([Vx]),从而有[limVx→0VxzVz=fxx0,y0=A],
同理,当[Vx=0]时,Vz=f(x0,y0+Vy)-f(x0,y0)=Vyz=BVyx+0([Vy]),从而有[limVy→0VyzVy=fxx0,y0=B]。
所以函数z=f(x,y)在P(x0,y0)处的全微分dz=fx(x0,y0)Vx+fy(x0,y0)Vy=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy。
例4函数[fx,y=xyx2+y2(x,y)≠(0,0)0x,y=(0,0)]在点(0,0)处可导,但却不可微。endprint
证明:因为[fx0,0=limVx→0f0+Vx,0-f(0,0)Vx=0],
[fy0,0=limVy→0f0,0+Vy-f(0,0)Vy=0],所以f(x,y)在点(0,0)处可导。
因为
[Vz-dz=f0+Vx,0+Vy-f0,0-fx0,0Vx+fy0,0Vy=VxVy(Vx)2+(Vy)2]
在ρ=[(Vx)2+(Vy)2]→0的过程中,当沿着路径y=kx趋于(0,0)点时,[Vz-dzρ=VxVy(Vx)2+(Vy)2(Vx)2+(Vy)2=VxVy(Vx)2+(Vy)2=k(Vx)2Vx2(1+k2)=k1+k2]不趋于0,即[Vz-dz]不是[ρ]的高阶无穷小,从而由微分的定义知函数在点(0,0)处不可微。
3.二元函数可微是连续的充分不必要条件。
定理4:若函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微分,则函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续。
证明:因为函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微分,所以[Vz=AVx+BVy+oρ,ρ=(Vx)2+(Vy)2,limρ→0Vz=0][limVx→0Vy→0f(x+Vx,y+Vy)=limρ→0fx,y+Vz=f(x,y)]。即函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续。
例5二元函数[fx,y=sinx2+y2]在点(0,0)处连续,但在点(0,0)处偏导数不存在,也不可微。
证明由例3可知[fx,y=sinx2+y2]在点(0,0)处连续,但偏导数不存在。由定理3可知,偏导数不存在,则不可微。
4.二元函数的偏导数连续是函数可微的充分不必要条件。
定理5【2】若二元函数z=f(x,y)的偏导数[?z?x,?z?y]在点(x,y)处连续,则函数z=f(x,y)在该点处可微分。
证明:
[vz=fx+Vx,y+Vy-fx,y=fx+Vx,y+Vy-fx,y+Vy+fx,y+Vy-fx,y],
由拉格朗日中值定理,有
[fx+Vx,y+Vy-fx,y+Vy=fxx+θ1Vx,y+VyVx,(0<θ1<1)]。再由[fx(x,y)]在点(x,y)处的连续性及极限与无穷小的关系知[limVx→0Vy→0fxx+θ1Vx,y+Vy=fx(x,y)],则[fxx+θ1Vx,y+Vy=fxx,y+ε1],其中[ε1]是[Vx,Vy]的函数,且当[Vx→0,Vy→0]時,[ε1→0]。因此,[fxx+θ1Vx,y+VyVx=fxx,yVx+ε1Vx]。
同理有[fxx,y+Vy-fx,y=fxx,yVy+ε1Vy],其中,当[Vy→0]时,于是[Vz=fxx,yVx+fxx,yVy+ε2Vy],因为
[ε1Vx+ε2Vyρ≤ε1+ε2ρ→0→0,ρ=(Vx)2+(Vy)2]。故函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微分。
例7二元函数[fx,y=(x2+y2sin1x2+y2)(x,y)≠(0,0)0x,y=(0,0)]
在点[(0,0)]处可微,但偏导数不连续。
证明:因为
[fx0,0=limVx→0f0+Vx,0-f(0,0)Vx=limVx→0(Vx)2sin1(Vx)2Vx=limVx→0Vxsin1(Vx)2=0]
[ fy0,0=limVy→0f0,0+Vy-f(0,0)Vy=limVy→0(Vy)2sin1(Vy)2Vy=limVy→0Vysin1(Vy)2=0]
[Vz-fx0,0Vx+fy0,0Vy=f0+Vx,0+Vy-f0,0=ρ2sin1ρ2=o(ρ)]
其中[ρ=(Vx)2+(Vy)2]。所以f(x,y)在点[0,0]处可微。
因为,当[(x,y)≠(0,0)]时
[fxx,y=2xsin1x2+y2+(x2+yx)cos1x2+y2×-1(x2+y2)2×2xsin1x2+y2-2xx2+y2cos1x2+y2]
即[fxx,y=2xsin1x2+y2-2xx2+y2cos1x2+y2(x,y)≠(0,0)0x,y=(0,0)]
显然[lim(x,y)→(0,0)fx(x,y)≠fx(0,0)],即[fx(x,y)]在点[(0,0)]处不连续,同理[fy(x,y)]在点[(0,0)]处也不连续。
参考文献:
[1]杨晋浩,韩天勇.高等数学(上册)修订版[M].科学出版社,2010,8.
[2]韩天勇,施达,杨洪.高等数学(下册)修订版[M].科学出版社,2011,2.
作者简介:
刘春燕(1988,01—),女,汉,四川仁寿人,成都大学信息科学与工程学院专任教师(助教),硕士研究生,主要从事模糊关系方程方面的研究。
基金项目:2014年成都市科技局项目(2014-RK00-00051-ZF),2015年成都市科技局项目(2015-RK00-00010-ZF、2015-RK00-00018-ZF)。endprint