一种简单高效的改进人工蜂群优化算法

2017-09-07程学伟

数据采集与处理 2017年4期

关键词：蜜源正态分布蜂群

陈雷程学伟

(1.天津大学精密仪器与光电子工程学院，天津，300072；2.天津商业大学信息工程学院，天津，300134;3.天津商业大学经济学院，天津，300134)

一种简单高效的改进人工蜂群优化算法

陈雷1, 2程学伟3

(1.天津大学精密仪器与光电子工程学院，天津，300072；2.天津商业大学信息工程学院，天津，300134;3.天津商业大学经济学院，天津，300134)

人工蜂群(Artificial bee colony, ABC)算法是一种新型的仿生智能优化算法。与其他仿生智能优化算法相比，ABC算法的优化求解策略仍有待改进，以进一步提高其收敛速度和优化求解精度。为此，本文提出一种简单而高效的改进ABC算法，将统计学中的正态分布理论引入ABC算法的优化求解过程。首先，提出基于正态分布的蜜源初始化策略，提高了初始化过程的目的性，为后续搜索提供了精度保障。进而对搜索公式中的基础位置和缩放因子进行改进，提出了基于正态分布的搜索策略。该策略在扩大搜索范围的同时，使搜索更新过程更具目的性，从而在有效防止陷入局部收敛的同时，提高了优化求解速度。针对高维复杂Benchmark函数的测试实验结果表明，所提出算法的改进策略简单有效，其收敛速度和求解精度更高。

人工蜂群算法；正态分布；初始化策略；搜索策略

引言

自20世纪90年代以来，为了解决传统梯度类优化方法对初始值要求高、易陷入局部收敛的局限性，基于自然界生物进化发展的仿生智能优化算法研究进展迅速。从最初的遗传算法(Genetic algorithm, GA)[1]，到后来的粒子群(Particle swarm optimization, PSO)算法[2]、蚁群算法(Ant colony optimization, ACO)[3]、细菌觅食(Bacterial foraging, BF)算法[4]和鱼群(Fish swarm, FS)算法[5]，仿生智能优化算法原理结构清晰、全局优化能力优异，有效克服了传统优化方法的一些固有缺点，已广泛应用于语音识别[6]、分布参数估计[7]、图像视频处理[8, 9]、遥感光谱处理[10, 11]和排序调度[12]等多学科领域，发挥了重要而积极的作用。

随着仿生智能优化算法在各领域应用的不断深入，针对不同技术的多模态、高数据维的优化求解要求不断涌现，从而对算法的全局收敛能力和优化求解精度提出了更高的要求。为此，一些学者基于生物进化的新思想提出了新颖的仿生智能优化算法，如人工蜂群(Artificial bee colony, ABC)算法[13]、蝙蝠算法[14]、布谷鸟算法(Cuckoo search)[15]和微分搜索算法[16]等。与此同时，为了进一步提高这些新算法的优化求解能力，一些对应的改进算法，尤其是针对ABC算法的改进已成为了研究热点。如Tien等[17]将混沌算子、多级免疫算法和ABC算法相混合，利用多级免疫算法作为识别项来平衡局部和全局搜索。结合混沌算子作为进化项来增强探索和开发能力，并引入杂交操作以提高搜索能力。Shan等[18]通过引入自适应机制改变引领蜂和跟随蜂的搜索范围，并将混沌学习选择机制引入侦察蜂的探索过程以提高ABC算法的收敛性能。Alshamlan等[19]将遗传算法与ABC算法相混合，将遗传算子引入跟随蜂的开发过程，以提高跟随蜂与引领蜂之间的信息分享度。Forsati[20]通过引入公平性原理和克隆特性以增加ABC算法的探索能力以及优化过程中的知识波及深度。这些改进的ABC算法通过引入一些学习机制与变异算子等有效提高了算法的全局收敛能力和求解精度。然而，很多算法的改进策略在提高了全局收敛能力和求解精度的同时，却额外增加了较大的计算复杂度，从而影响了算法的实际工程应用效果。本文针对ABC优化算法，提出了简化而高效的改进策略。首先，为了克服原有简单随机初始化策略的盲目性，提出了基于正态分布的改进初始化策略；然后，针对寻优过程对搜索公式中的基础位置和缩放因子进行改进，提出了基于正态分布的搜索策略。测试函数优化实验结果表明，在两种策略的共同作用下，所提出的改进ABC算法的全局优化求解能力和寻优精度得到了显著提升。

1 人工蜂群算法

ABC算法是一种受蜜蜂采蜜行为启发而提出的新型仿生智能优化算法。在ABC算法中，蜜蜂群体被分为引领蜂、跟随蜂和侦察蜂3类。其中，引领蜂和跟随蜂各占种群数量NP的一半，同时另设1个侦察峰角色。跟随蜂的任务是完成蜜源的开采，而侦查蜂的任务是完成优质蜜源的探索。ABC算法求解最优化问题的过程是通过蜜蜂的采蜜行为来实现的。

(1)把每个蜜源抽象成解空间中的一个点，从而成为最优化问题的一个可行解。

(2)每个蜜源的含蜜量代表最优化问题中解的适应度值。

(3)含蜜量最多的蜜源将成为最优化问题的全局最优解。

(4)蜜蜂寻找到最优蜜源的速度等同于最优化问题的求解速度。

ABC算法的执行过程如下：

(1)种群初始化(产生初始蜜源位置)

(1)

(2) 搜索更新(引领蜂和跟随蜂更新蜜源位置)

在采蜜寻优过程中，每个引领蜂首先按照式(2)的交叉变异原理找到一个可能的新蜜源，并进行记忆。如果找到的新蜜源vi的蜜量高于原蜜源xi的蜜量，则用vi代替xi；否则，将继续保持原蜜源xi的位置不变。

(2)

式中：vij为第i个引领蜂寻找到的新蜜源位置的第j维分量，k=1,2,…,SN；其中，第k个蜜源与第i个蜜源是不同蜜源；系数φi,j为[-1,1]之间的均匀分布随机数。

当所有的引领蜂完成其所在蜜源周围的新位置搜索并更新后，将通过跳舞的方式把蜜源蜜量信息传递给跟随蜂，跟随蜂以每个蜜源位置上的概率Pi为依据选择引领蜂进行跟随，以进行再一次更优蜜源的搜索。Pi的计算公式为

(3)

式中：fiti为第i个蜜源的蜜量(即优化问题中第i个可行解的适应度值)。SN个跟随蜂根据Pi按照轮盘赌原理，以引领蜂所在蜜源的蜜量进行相对择优跟随。进而，各跟随蜂将在其当前所在蜜源位置附近区域按照式(2)再进行一次搜索，按照优者保留，劣者淘汰的原则更新蜜源。

(3) 局部解替换(侦察蜂开采新蜜源)

循环进行上述引领蜂和跟随峰的蜜源搜索更新过程，并设定循环上限Limit。若某个蜜源在循环次数达到Limit后还没有被更新，则表明此蜜源蜜量可能为该局部区域最大。为了防止蜂群陷入局部最优解，算法将选择放弃该蜜源。此蜜源对应的引领蜂将变成侦察蜂，按照式(1)的随机初始化原理探索一个新的蜜源，作为原SN个蜜源中的一员，继续进行新的循环搜索过程。当蜂群进化达到最大循环代数时，输出所有蜜源中蜜量最大的位置作为所求问题的最优解。

2 改进的人工蜂群算法

通过对ABC算法的进化求解过程分析可知，ABC算法能够较好地解决高维多峰数值优化问题，但由于初始化和搜索策略的限制，仍然存在以下不足：(1) 初始化策略的简单随机性会影响整个算法的收敛速度以及最优解的质量。(2) 由于搜索策略的局部选择性，易使算法陷入局部最优；并且在邻域搜索新蜜源时，所选用的基础解xij为一个普通可行解，没有利用近期种群的相对最优解，会导致收敛速度较慢。因此为有效提高算法的收敛速度和寻优精度，本文提出基于正态分布的种群初始化和搜索更新策略。

2.1 改进的初始化策略

针对上述不足，本文提出基于正态分布的蜜源初始化策略，改进的蜜源初始化公式可表示为

(4)

2.2 改进的搜索策略

本文从搜索策略的收敛速度和寻优精度出发，通过对搜索公式中的基础位置和缩放因子进行改进，提出了基于正态分布的蜂群搜索改进策略。改进的搜索公式可表示为

(5)

式中：基础位置xbest,j表示当前种群中具有最好适应度值的蜜源位置；缩放因子nodi,j=normrnd(0,1),即均值μ=0，方差σ2=1的正态分布随机数；在ABC算法中，缩放因子φi,j的作用是控制交叉变异项(xi,j-xk,j)的搜索步长，其取值是从[-1,1]之间进行简单随机选取，使蜂群具有一定的全局探索能力，但搜索过程效率较低，收敛速度较慢。

因此，本文首先采用xbest,j代替ABC算法中的xi,j作为下一步搜索的基础位置，从而能够更好地利用当前种群搜索到地优质蜜源，提高求解的精度和速度。同时改变缩放因子的产生方法，采用标准正态分布随机数nodi,j=normrnd(0,1)替代原有的均匀分布随机数φi,j=rand(0,1)。由于标准正态分布具有3σ原则，即有

(6)

(7)

(8)

独立进行10次标准正态分布随机数生成实验，每次实验产生100个标准正态分布随机数。计算每个点的概率密度，得到10次实验标准正态分布概率密度图，如图1所示。

图1 标准正态分布概率密度图Fig.1 Diagram of standard normal distribution probability density

由图1可知，采用本文的缩放因子产生方法不仅可以使φi,j的取值大部分集中于[-1,1]之间，概率为68.3%(其概率在均值0处最大，左右两边取值概率依次递减)，使搜索范围主要集中于xbest,j附近，保证搜索的目的性，提高搜索速度。更为重要的是，该缩放因子产生方法还能以一定概率在[-1,1]之外的空间进行探索(概率为31.7%)，搜索范围的扩大使得算法在防止局部收敛性能上得到了较大提升。下面对采用不同正态分布函数对算法性能的影响进行分析。

(1)如果保持正态分布函数均值不变，而改变方差，会使得正态分布函数的形状发生改变。较小的方差，会使产生的缩放因子更多地集中于均值附近，这会使搜索范围更加集中，虽然提高了收敛速度，但陷入局部收敛的风险会增大。较大的方差会使搜索范围的广度更大，更好地避免局部收敛，但是这种更注重全局收敛的搜索策略，无疑会降低算法的收敛速度。所以，恰当的方差取值能够协调蜂群的开发能力和探索能力，保证蜂群算法的优化求解性能。

(2)如果保持正态分布函数的方差不变，而改变均值，会使得搜索的集中区域发生改变。根据搜索公式(5)，存在一个随机产生的交叉变异项(xi,j-xk,j)，它会由于k值选择的随机性而具有一定随机性。随机性的交叉变异项(xi,j-xk,j)乘以一个均值改变、方差不变的缩放因子nodi,j，其结果仍然具有随机性。也就是说，均值略微改变的缩放因子nodi,j产生的差异性会被交叉变异项(xi,j-xk,j)的随机性所抵消。因此，正态分布函数均值的改变，不会影响算法的鲁棒性和收敛速度。

2.3 算法稳定性和收敛性分析

本文通过将正态分布理论引入ABC算法，对蜂群初始化和搜索过程进行简单而有效的改进，得到了基于正态分布的改进ABC算法(Normal distribution artificial bee colony,NABC)。

(1) NABC算法的稳定性分析：ABC算法的稳定性依托于不断进行的搜索更新机制，但由于蜜蜂的搜索更新策略中选用的基础解xi,j为一个普通可行解，并没有利用近期种群的相对最优解信息，从而可能会导致搜索到的新位置劣于前一代的蜜源位置，从而影响ABC算法基于正反馈机制的稳定性，降低了搜索效率。所以，为了提高ABC算法的稳定性，在本文的搜索更新策略中，NABC算法使用了当前种群中具有最好适应度值的蜜源位置xbest,j代替普通可行解xi,j，使得NABC算法在搜索进程中找到更优解的可能性增大，从而提高了算法的稳定性。

(2) NABC算法的收敛性分析：ABC算法和NABC算法理论上都能依概率收敛于全局最优解。本文提出的NABC算法在搜索策略中使用正态分布函数替代均匀分布函数，不仅可以使搜索范围主要集中于xbest,j附近，保证搜索的目的性，提高搜索速度。更为重要的是，还能使蜂群以一定概率在[-1,1]之外的广阔空间进行探索，从而扩大搜索范围，保证了算法的全局收敛能力。因此，NABC算法更有效地协调了ABC算法的开发能力和探索能力，具有良好的优化求解能力。

2.4 算法流程

NABC算法的具体流程如下：

(1) 设置种群规模NP，初始化蜜源个数SN，求解空间维数D，循环上限Limit以及最大进化代数Maxcylce；(2) 按照式(4)，在约束范围内按照正态分布原理随机产生SN个蜜源，计算出每个蜜源对应的蜜量；(3) 在采蜜寻优过程中，引领蜂基于当前种群最优个体，利用正态分布缩放因子按照式(5)产生新蜜源，根据贪婪选择原理决定是否更新蜜源；(4) 引领蜂将蜜源信息传递给跟随蜂，跟随蜂根据式(3)计算每个蜜源位置上的概率Pi，依照轮盘赌的方式选择引领蜂进行跟随；(5) 跟随蜂在循环上限Limit内，依据式(5)进行多次搜索，并根据贪婪选择原理决定是否更新蜜源；(6) 若一个蜜源在搜索次数达到循环上限Limit后，仍然未被更新，则此处的引领蜂转变成侦察峰，根据式(4)搜索更新一个新蜜源；(7) 如果达到了最大进化代数Maxcylce，则输出最优蜜源的位置坐标xbest=[xbest,1,xbest,1,…,xbest,D]；否则，返回(3)。

3 仿真实验分析

3.1 实验设计与条件

为验证本文提出的ABC算法的性能，选取了8个常用于仿生智能优化算法测试的主流Benchmark函数f1～f8。为体现本文算法对低维函数和高维函数均具有很好的优化求解能力，选择维数D=2～100的测试函数，其中包括维数D=2的Benchmark函数2个，D=30的Benchmark函数2个，D=60的Benchmark函数1个和D=100的Benchmark函数3个，各函数均有理论最小值0。其中，f1～f3为单模态函数，f4～f8为多模态函数。各函数的名称、函数表达、维数、自变量范围和理论最优解详见表1。

本文算法的参数设置：种群规模NP=20，进化代数Maxcycle=2 500，Limit=100。在对比实验中，将仅采用本文提出的初始化策略的改进算法称为NABC1；仅采用本文提出搜索策略的改进算法称为NABC2；同时采用两种改进策略的算法为NABC。将这3种算法与ABC算法和新近提出的性能优异的改进ABC算法(Modified artificial bee colony,MABC)[21]进行性能比较分析。为保证实验比较的公平性，5种算法的基本参数设置均保持一致，且所有测试数据均为20次仿真实验的平均结果。

表1 Benchmark函数

3.2 实验结果与分析

首先通过数据测试验证本文算法的优化性能，该测试采用固定进化代数情况下，不同算法得到的适应度值(最优值、最差值、平均值以及标准差)进行说明，结果如表2所示。其中，最优值、最差值和平均值体现出各优化算法所能达到的求解精确度，而标准差则代表各优化算法优化求解的稳定性。

由表2可知，对于8个Benchmark函数，NABC算法的平均优化精度均优于ABC和MABC算法。其中，对于函数f2，f5，f7和f8，NABC算法具有明显精度优势。通过分析标准差数据可知，NABC算法具有良好的稳定性，除对于函数f3的稳定性略低于MABC之外，针对其他函数的优化求解稳定性均优于ABC算法和MABC算法。

进一步对算法性能进行统计上的显著性测试。即针对改进的ABC算法(NABC1,NABC2,MABC和NABC)与ABC算法的20次函数优化实验结果，对各种算法进行最优解的均值是否相等的双侧t检验。其中“+”表示改进的蜂群算法在95%的置信度下认为两者的均值存在显著差异，“·”表示改进的蜂群算法在95%的置信度下认为两者的均值不存在显著差异。

由表2的结果可知，本文提出的NABC算法对于所有测试函数均通过了显著性测试，即可以认为NABC算法与ABC算法所求得的最优解均值具有显著差异。仅有只进行了初始化策略改进的NABC1算法针对测试函数f7未能通过显著性测试。可见，本文所提出的综合了初始化策略和搜索策略两种改进策略的NABC算法较之ABC算法具有明显的性能提升。

进一步，采用优化求解过程的进化收敛曲线验证本文算法的优势。该测试进行3组比较实验：(1)仅采用改进初始化策略的NABC1算法与ABC算法的收敛曲线比较，限于篇幅，列出4个Benchmark函数的进化收敛曲线，如图2所示。(2)仅采用改进搜索策略的NABC2算法与ABC算法的收敛曲线比较，如图3所示。这两组比较是为了说明单独采用本文的初始化策略或搜索策略的改进对ABC算法优化求解性能的影响。(3)综合两种改进策略的NABC算法与其他算法的性能比较，结果如图4所示。

表2 本文算法与其他算法的性能比较

(1)NABC1算法与ABC算法的比较

由图2可以看出，单一采用改进的初始化策略能够在一定程度上提高算法的初期收敛速度，提高求解精度，但优势还不够明显。

图2 NABC1算法与ABC算法收敛曲线图Fig.2 Convergence curves of NABC1 and ABC algorithms

(2)NABC2算法与ABC算法的比较

由图3可以看出，单一采用改进的基于正态分布的搜索策略能够明显提高算法的收敛速度，NABC2算法除对函数f4的初始收敛速度稍差于ABC算法之外，对其他Benchmark函数的进化收敛性能均优于ABC算法。

图3 NABC2算法与ABC算法收敛曲线图Fig.3 Convergence curves of NABC2 and ABC algorithms

(3)NABC算法、ABC算法和MABC算法的比较

为验证综合两种改进策略的NABC算法的优化性能，除了将本文算法与ABC算法进行比较之外，还进一步与新近提出的性能优良的MABC算法进行比较实验。由图4可以看出，NABC算法除对于f3和f4的优化结果略优于ABC算法和MABC算法外，对于f1，f2，f5，f6，f7和f8，NABC算法的收敛速度和收敛精度明显优于ABC算法和MABC算法。可见，当本文提出的基于正态分布的初始化策略和搜索策略共同作用于ABC算法时，得到的NABC算法的优化求解能力与其他算法相比具有明显优势。

图4 NABC算法、ABC算法和MABC算法收敛曲线图Fig.4 Convergence curves of NABC, ABC and MABC algorithms

4 结束语

为了提高基本ABC算法的全局优化能力和搜索速度，本文提出了一种基于正态分布的改进ABC算法。将正态分布理论引入ABC算法的初始化过程和优化搜索过程，得到了新的蜂群初始化策略方程和搜索公式，更加有效地协调了算法的开发能力和探索能力，在保证了ABC算法全局收敛能力的同时，提高了算法的收敛速度和求解精度。通过对多个主流Benchmark函数的优化求解对比实验结果可知，本文提出的改进ABC算法有效提高了算法的优化求解能力，且改进策略原理简单易行，具有较好的实际应用价值。

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Simple and Effective Modified Artificial Bee Colony Optimization Algorithm

Chen Lei1,2, Cheng Xuewei3

(1. School of Precision Instrument and Opto-Electronics Engineering, Tianjin University, Tianjin, 300072, China;2. School of Information Engineering, Tianjin University of Commerce, Tianjin, 300134, China;3. School of Economics, Tianjin University of Commerce, Tianjin, 300134, China)

Artificial bee colony algorithm is a novel bio-inspired intelligence optimization algorithm. Compared with other bio-inspired intelligence optimization algorithms, the optimization strategy of artificial bee colony(ABC) algorithm still need to be improved to enhance the convergence speed and the optimization precise.A simple and effective modified artificial bee colony algorithm based on normal distribution is proposed here. Firstly, the nectar source initialization strategy based on normal distribution is given. The purposiveness of the initialization process is improved and the search precise can be ensured. Then, the basic position and the zoom factor in the search equation are modified. The search range is enlarged and the purposiveness of the search is also improved. Therefore, the property of global convergence and the optimization precise are also improved in the proposed modified ABC algorithm. The optimization experimental results for high-dimensional benchmark functions indicate that the proposed modification strategies are simple and effective with better convergence speed and optimization precise.

artificial bee colony algorithm; normal distribution; initialization strategy; search strategy

国家自然科学基金(61401307)资助项目；中国博士后科学基金(2014M561184)资助项目；天津市应用基础与前沿技术研究计划(15JCYBJC17100)资助项目;天津市科技特派员项目(16JCTPJC48400)资助项目。

2015-11-26；

2016-05-09

TP18