污染环境下一类随机三种群捕食系统阈值的分析

张笑玲，谢红梅

（石河子大学理学院，新疆 石河子，832003）

污染环境下一类随机三种群捕食系统阈值的分析

张笑玲，谢红梅

（石河子大学理学院，新疆 石河子，832003）

阈值普遍存在于自然生态系统中，阈值的研究对自然资源保护和生态系统可持续管理具有重要的理论和实践意义。本文研究污染环境下两食饵一捕食者随机三种群捕食模型，运用伊藤微分法则、积分定理、积分中值定理、随机比较定理以及线性代数的相关理论，获得了各种群趋于局部灭绝、随机非平均持久及随机弱平均持久的充分条件，随之得到在一定条件下种群的随机弱平均持久与趋于灭绝之间的阈值分别为

环境污染；三种群；随机捕食模型；阈值

科技的发展加速了工业化的进程，使人们得到了许多便利，但随之而来的环境污染问题却日益严重，这使得研究和控制环境污染，保持生态平衡迫在眉睫。因此，研究生态系统本身能抵御外界干扰，恢复平衡状态的临界限度，即种群生存阈值，进而探究在某一环境区域内对人类活动所造成影响的最大容纳量，以保证以该地区为生境的种群能持续生存，就显得尤为重要。利用数学模型研究毒素对生物种群生存的影响，始于20世纪80年代Hallam等[1-3]首次提出毒素对各种生态系统影响的确定性模型，从此对污染环境下确定性模型的研究越来越多[4-7]，这些对确定性模型的研究是重要并且有用的，它让我们更加深刻地认识了毒素对种群的影响机制。然而，生存于自然界中的各种群必将受到随机因素的影响，因此，确定性模型中假定系统的参数不受随机因素的干扰，就存在很大的局限性。例如，采用确定性模型来研究种群在污染环境下的生存问题时，就存在一个严重的缺陷——在污染比较严重的情况下种群将趋于灭绝。而在这个过程中，种群的个体数目会越来越小，随机因素的影响就会变大，模型的合理性随之降低，这就使确定性模型所得结果的可靠性减弱，得到的阈值偏离客观实际情况很大的可能性也会明显增大。

近年来，对随机模型的研究逐渐增多[8-19]，且主要针对单种群或两种群，但对污染环境下随机三种群模型的研究较少[13，17-19]。众所周知，孤立存在的种群只存在于科学家的实验室里，而现实世界中的种群必然与周围的生物息息相关。所以，只研究单种群或两种群并不足以说明问题，而增加所研究种群的数目，会相当地增加模型的研究难度，因此，本文将研究污染环境下两食饵一捕食者随机三种群捕食模型，并试图探究其中的规律，为以后研究一般的多种群生态模型奠定一定基础。

1 模型

马知恩等[4]研究的确定性两食饵一捕食者三种群捕食模型为

其中，xi(t)表示t时刻种群i的数量，γi0表示在不存在毒素时种群i的内禀增长率，γi1表示种群i的增长对毒素的反应强度，αij表示种群i的种内制约因子，αij=(i≠j)表示种群i与种群j的种间竞争系数，i,j=1，2，3，γ30、α31、α32为负常数，其余γi0、γi1、αij，i=1,2，j=1,2,3均为正常数；C0(t)表示t时刻种群体内毒素的浓度，CE(t)表示t时刻时环境毒素浓度，α1表示每单位质量的生物体通过环境对毒物的吸收率，d1表示每单位质量的生物体通过食物对毒素的吸收率，θ表示资源中的毒物浓度，β表示每单位质量的生物体对食物的摄取率，l1和l2分别表示生物机体对毒素的分解率和排泄率，h表示环境对毒素的清理能力，u(t)表示时刻t时对环境中毒素的排放率，α1，d1(≤α1)，θ，β，l1及l2均为正常数，并设 0≤U1≤u(t)≤U2＜∞。

本文假定模型（M）中参数γi0受环境噪声的影响，令γi0→γi0+αidBI(t)，i=1,2,3，其中，B1(t)，B2(t)和B3(t)是独立的标准Brown运动，αi代表噪声强度，i=1,2,3，则由3种群所构成的污染环境下的随机捕食模型可表示为

其初始条件为:xi(0)＞0，i=1,2,3，C0(0)=0，CE(0)=0。

为方便起见，引入以下记号

为了进行研究，引入以下广泛使用的随机持久性和趋于局部灭绝的概念。

定义1[18]：

(1)物种x(t)称为趋于局部灭绝的，如果

(2)物种x(t)称为随机非平均持久的，如果〈x〉*=0 a.s.；

(3)物种x(t)称为随机弱平均持久的，如果〈x〉*＞0 a.s.。

为便于讨论，做以下基本假设：

假设条件（2）表示x1(t)种群的抗毒能力相对较强，种群x2(t)较弱。对于假设条件（1），在下面的注 1（1）中做出了合理解释。

假定系统（1）在无毒素入侵时有正平衡点，即A＞0，Ai＞0，i=1,2,3；系统仅有两种群存在时，系统在无毒素入侵时也有正平衡点，即A33＞0，其中A33为A中元素α33的代数余子式。

2 生存阈值的分析

3 讨论

马知恩等[4]对污染环境下三种群确定性捕食系统的生存阈值进行了研究，本文将其结论推广到了随机模型的情况，并且对随机非平均持久进行了研究，这是其未考虑的。另外，将本文所得结论与马知恩等所得结论进行比较发现，各种群的生存阈值均有所降低，从而可以得到随机干扰不利于种群的生存。

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The threshold analysis for stochastic three species predator-prey model in a polluted environment

ZHANG Xiaoling，XIE Hongmei
(College of Science,Shihezi University,Shihezi,Xinjiang 832003,China)

Threshold is generally exists in the natural ecosystem,so the study of threshold value has an important theoretical and practical significance for thenatural resources protection and ecological system of sustainable management.In this paper,we study two-predator one-prey model of stochastic three species in a polluted environment.By using Ito formula,integration theorem,mean value theorem of integrals,stochastic comparison theorem and the related theory of linear algebra,sufficient conditions for extinction,nonpersistent in the mean a.s.and weak persistence in the mean a.s.are obtained.Then,we obtained that,in some certain conditions,〈C〉respectively,the threshold between the stochastic0*weak persistence in the mean and extinction ofx1(t),x2(t)andx3(t).

polluted environment;three species;stochastic prey-predator model;threshold

O175

A

10.13880/j.cnki.65-1174/n.2017.04.022

1007-7383(2017)04-0522-07

2016-06-27

国家自然科学基金项目（11161040）

张笑玲（1989-），女，硕士研究生，专业方向为生物种群模型。

*通信作者：谢红梅（1967-），女，教授，从事代数学、应用概率论的研究，e-mail：xhm_tea@shzu.edu.cn。