Massive MIMO系统低复杂度ZF检测算法

谢时埸+曹海燕

摘 要：基于诺依曼级数展开算法，将矩阵求逆转化为一序列矩阵求和，在一定程度上降低了算法的复杂度，但是在计算优化因子上耗费了大量的计算资源而产生延迟。提出一种改进算法，其基于诺依曼级数近似，将大矩阵相乘转化为对角矩阵和空心矩阵，进一步降低ZF算法的计算复杂度，且提出一种简化优化因子的方法，提高收敛速度，有效减少延迟。仿真结果表明，随着接收天线增加，改进算法译码性能接近传统ZF算法，而检测算法的复杂度由O（k3）降到O（k2），其中k为用户数。

关键词：Massive MIMO；迫零算法；诺依曼级数近似；优化因子

DOIDOI：10.11907/rjdk.171220

中图分类号：TP312

文献标识码：A 文章编号：1672-7800（2017）007-0036-04

0 引言

无线通信技术已进入4G/5G时代，人们对无线通信系统更高速率传输数据的需求与日俱增。研究表明，基站端采用成百上千根天线的大规模天线阵列可以在不增加系统带宽的情况下，大幅度提高通信系统的容量、频谱利用率和系统性能，Massive MIMO被认为是现代无线通信的关键技术之一[1]。

目前，Massive MIMO系统中仍存在很多尚需解决和有待深入研究的关键问题，如Massive MIMO系统的容量分析、信道信息获取、传输技术、资源分配技术等。随着基站天线数和用户数的大量增加，系统计算复杂度也是影响系统应用实现的关键问题之一[2]。众所周知最大似然检测算法具有最优译码性能，但由于其复杂度随着天线数目指数增加，很难应用于Massive MIMO系统中，因而传统MIMO系统中性能劣于最大似然检测算法的低复杂度检测算法，如最小均方差算法（MMSE，Minimum Mean Square Error）、迫零（ZF，Zero Forcing）算法等重新得到研究者的重视。文献[3]中研究了当系统配有低一个数量级的天线数时，采用RZF（Regular ZF）预编码或线性MMSE检测，可获得逼近容量的性能。但是线性检测算法涉及复杂矩阵求逆运算，其计算复杂度仍然很高。为了简化矩阵求逆过程，学者提出了利用里查德森方法避免矩阵求逆运算[4]。文献[5]提出了基于诺依曼级数近似算法，将矩阵的逆运算转化为截断多项式求和，从而降低复杂度。但是大矩阵相乘带来很高的复杂度，计算优化因子也耗时较长导致延迟，特别是在接收天线数远远多于用户数时。

为了进一步降低计算复杂度，本文提出的改进ZF算法是在诺依曼级数基础上展开的。将大矩阵分解为对角矩阵和空心矩阵，有效地降低计算复杂度，同时通过改进算法快速收敛条件得出简化的优化因子表达式。优化因子简化表达式有效减少系统的译码延迟，提高系统实时性。仿真结果表明，Massive MIMO系统天线数越大，所提出的改进ZF算法检测性能越接近传统ZF算法，而复杂度得到有效降低，且改进后算法的复杂度随着天线数目的增加其上升的速度远低于ZF算法。

1 系统模型

系统模型如图1所示。本文主要考虑单小区Massive MIMO系统的上行链路，该系统包括一个配备M根天线的基站和K个配备单天线的用户。令H表示信道矩阵，其中第（i，j）个元素hji表示第i个用户和第j根接收天线之间的信道增益，i=1，2，…，K，j=1，2，…，M。将用户放信号和相应的接收信号分别表示为x=[x1，x2，…，xK]T和y=[y1，y2，…，yM]T，其中xi和yj分別表示第i个用户的发射信号和第j根接收天线的接收信号。令zj表示第j根接收天线的加性高斯白噪声，方差为σ2z，那么M×KMIMO系统可以表示为：

2 诺依曼级数近似

检测算法最主要的计算复杂度在于矩阵求逆运算操作。具体来说，如果计算K×K维矩阵Z的逆矩阵需要O（K3）操作数，在K值很大时将导致求逆复杂度的迅速增加。因此，为了追求硬件实现的成本效益，有效的求逆方法至关重要。Stewart G W提出了诺依曼级数展开算法[6]。将矩阵Z-1作诺依曼级数展开可得：

式（5）只需要O（K2）的操作数，K为矩阵维度。与传统矩阵直接求逆O（K3）的复杂度相比，诺依曼级数近似求逆算法复杂度大幅度降低。

3 单小区Massive MIMO系统低复杂度ZF检测算法

ZF检测算法的滤波矩阵为[7]：

其中，（·）H为埃米特转置。ZF检测算法的复杂度为O（K3），但是对于Massive MIMO系统来说复杂度依然太高。计算复杂度主要来自检测算法中涉及大矩阵的求逆运算操作。为此，采用诺依曼近似算法降低ZF检测算法的复杂度。采用诺依曼级数近似[8-9]将WZF简化为：

3.1 基于Diagonal矩阵分解

当用户数即K值较大时，大矩阵（HHH）l相乘依然会带来较大的计算复杂度。为进一步降低检测算法的复杂度，将大矩阵HHH进行分解。令矩阵RZF=HHH，其中H为独立同高斯分布。在Massive MIMO系统中，基站天线数大于小区用户数即M>K时，矩阵RZF成为对角占优矩阵[10]。可将RZF分解为：

其中，DZF为RZF的主对角矩阵，EZF为空心矩阵即对角线上的元素全部是0。

将R-1ZF作诺依曼级数展开可得：

将式（9）代入式（6）可得：

由式（10）可知，大矩阵（HHH）-1求逆运算转化为（-D-1ZFEZF）的乘积之和，且对角矩阵的求逆运算只需将对角线上的元素求倒数，因此诺依曼近似算法可以有效减少求逆运算复杂度。并且合适的优化因子αn提高近似算法的精度与加快算法的收敛速度。

3.2 优化因子

本小节讨论改善优化因子α=[α0，α1，…，αL-1]的值，使改进算法在保证快速收敛基础上提高检测性能，令：

其中，I為单位矩阵。设AZF=-D-1ZFEZF，则式（11）的左边为：

因此，将复杂的求逆运算转化为诺依曼近似展开，以降低检测的复杂度，并通过提出的优化因子方法确保检测性能的基础上进一步降低复杂度。

3.3 复杂度分析与性能仿真

（1）复杂度分析。算法的复杂度通常可以由乘法器、除法器和加法器的数量来衡量。由于ZF检测算法的复杂度主要来自于矩阵的求逆运算。求逆运算中乘法器和加法器是主要复杂度的来源。因此统计基于Cholesky分解的精确矩阵求逆运算[12]和本文提出的低复杂度ZF检测算法的实数乘法器（一个复数的乘法器相当于4个实数乘法器）和实数加法器（一个复数的加法器相当于2个实数加法器）的数量，比较算法复杂度，统计结果如表1所示。

从表1可以看出，当L=2时改进算法的复杂度为O（K2），而当L=3时改进算法与基于Cholesky分解的矩阵精确求逆运算的复杂度都是O（K3）。当选择L=2时，改进ZF算法的复杂度远远低于精确求逆的方法。（2）性能仿真。基于单小区Massive MIMO上行链路系统模型，信道为瑞利衰落信道且假设接收端已知CSI，采用QPSK调制，噪声为独立同分布加性高斯白噪声，基站天线数分别为16，32，64，单天线用户数为8。仿真结果如图2～图4所示，图中DNS表示无优化因子的改进ZF检测算法，DNS-opt表示带优化因子的改进ZF检测算法，ZF表示传统ZF检测算法。

图2在L=1、2、3和β=MK=2、4、8下，分别给出带有优化因子改进ZF算法的译码性能仿真。观察图2，当β固定时，随着L的增加，有优化因子改进ZF检测算法的性能逐渐提高，特别是在β较大时即基站侧接收天线数较多时，当L=2时改进ZF检测算法比L=1时有了大幅度的提高。当L固定时，随着β的增加，改进ZF检测算法性能也越来越好，特别是β较大时，算法的性能改善速度越来越快。

由图3可得，L=2时带优化因子的改进ZF检测算法具有低复杂度的优点，同时检测性能接近于L=3时无优化因子算法的性能。当L=1时，虽然其复杂度是三者之中最低的，但是其检测性能较差，不满足需求。当L=2或3，特别是在接收天线数较大时，改进ZF算法的性能得到大幅度提升。考虑到复杂度因素，L=2时算法的复杂度为O（K2），而L=3时算法的复杂度为O（K3），因此本文参数L选择为2，可以取得检测性能与算法复杂度的最佳折衷。

图4为L=2，基站天线数为16、32、64时，分别对提出无优化因子改进ZF检测算法、有优化因子改进ZF检测算法、传统ZF检测算法的性能仿真。从图4可以观察到有优化因子改进ZF检测算法的性能明显优于无优化因子改进ZF算法。并且随着基站侧的接收天线数的增加，改进ZF检测算法逐渐逼近传统ZF检测算法。仿真结果表明优化因子可以提高改进ZF算法检测性能，且改进ZF检测算法适用于Massive MIMO系统。

4 结语

本文提出了一种基于诺依曼级数展开的将大矩阵相乘转化为对角矩阵和空心矩阵相加的低复杂度的ZF算法，并且通过使改进算法快速收敛的方法得到优化因子表达式，同时给出计算优化因子的简化形式，充分缩短了由于计算优化因子产生的延迟。通过理论分析和仿真实现，所提出的改进算法复杂度远低于传统ZF算法，特别是接收天线数越大，性能越接近于传统ZF算法。因此所提出的改进ZF算法更适用于Massive MIMO系统。本文中对参数L选择仅是从仿真数据中得出的结论，对通用参数L的选择还有待进一步完善。

参考文献：

[1] NGO H Q，LARSSON E G，MARZETTA T L.Energy and spectral efficiency of very large multiuser MIMO systems[J].Communications IEEE Transactions on，2011，61（4）：1436-1449.

[2] RUSEK F，PERSSPON D，LAU B K，et al.Scaling up MIMO：opportunities and challenges with very large arrays[J].IEEE Signal Processing Magazine，2012，30（1）：40-60.

[3] MULLER A，KAMMOUN A，BJORNSON E，et al.Linear precoding based on polynomial expansion：reducing complexity in massive MIMO[J].Eurasip Journal on Wireless Communications & Networking，2016（1）：1-22.

[4] GAO X，DAI L，YUEN C，et al.Low-complexity MMSE signal detection based on richardson method for large-scale MIMO systems[C].Vehicular Technology Conference.IEEE，2014：1-5.

[5] YIN B，WU M，STUDER C，et al.Implementation trade-offs for linear detection in large-scale MIMO systems[C].IEEE International Conference on Acoustics，2013：2679-2683.

[6] STEWART G W.Matrix algorithms：basic decompositions[M].Soc Industrial & App，1998.

[7] 马光彬.MIMO系统中信号检测算法的研究[D].杭州：杭州电子科技大学，2013.

[8] MULLER A，KAMMOUN A，BJORNSON E，et al.Linear precoding based on truncated polynomial expansion -part I：large-scale single-cell systems[J].Flexible，2013，8（5）：861-875.

[9] KAMMOUN A，MULLER A，BJORNSON E，et al.Linear precoding based on truncated polynomial expansion-part II：large-scale multi-cell systems[J].Flexible，2013，8（6）：853-867.

[10] WU M，Yin B，WANG G，et al.Large-scale MIMO detection for 3GPP LTE：algorithms and FPGA implementations[J].Selected Topics in Signal Processing IEEE Journal of，2014，8（5）：916-929

[11] MARCHENKO V A，PASTUR L A.Distribution of eigenvalues for some sets of random matrices[J].Mathematics of the USSR-Sbornik，1967（1）：507-536.

[12] KRISHNAMOORTHY A，MENON D.Matrix inversion using cholesky decomposition[C].Signal Processing：Algorithms，Architectures，Arrangements，and Applications （SPA），2013：70-72.