非线性自适应水平集的图像分割方法

周凤丽+于海平+龚江河

摘 要：提出一种新的基于水平集的图像分割方法，通过引入贝叶斯规则，设计一个可有效分割弱边缘的非线性自适应速度和概率加权停止函数。该方法包含如下特性：可以自动决定曲线收缩或利用贝叶斯规则对涉及到的图像区域特征进行扩展；以恰当的速度驱动曲线演变，避免了弱边缘的遗漏；降低了假边缘的影响。最后将所提出的分割方法应用于人工图像、医学图像和自然图像的定性和定量评估。对结果进行比较可知，该方法相对于水平集方法和其代表的变体更加有效和实用。

关键词：活动轮廓；贝叶斯规则；有限差分；图像分割；水平集；偏微分方程

DOIDOI：10.11907/rjdk.171233

中图分类号：TP317.4

文献标识码：A 文章编号：1672-7800（2017）007-0191-04

0 引言

主动轮廓模型（Active Contour Model，ACM）作为图像分割的流行技术，受到了学者的广泛关注，其建立了一个统一的分级ACM系统框架[1]。水平集方法（Level Set Method，LSM）作为隐式的ACM也被广泛应用于图像分割[2]，它根据分割任务的类别跟踪图像的边缘或标记像素，分割出图像的边缘和区域。Li等[3]将惩罚项引入至能量泛函，使得水平集函数一直保持为符号距离函数，不用在曲线演化过程中重新初始化水平集函数。Chan和Vese[4]将图像分为背景区域和目标区域两部分，使用简化的Mumford-Shah模型[5]逼近待分割图像，在近似函数和原始图像之间引入惩罚项，并将此方法扩展应用于张量图像等特殊图像分割中；随后Roussonet、Chen和Tseng等[6-7]通过使用最大后验（Maximum a-Posterior）模拟外部能量设计了一种图像分割方法。

为了得到图像的正确分割结果并解决上述问题，本文设计了一种新的图像分割方法。该方法结合了以新的图像边缘和区域为基础的混合停止力及文献[3]中提出的能量泛函，具有以下优点：①与文献[3]和[4]提出的水平集方法相比，自适应方向函数可自动确定曲线进化方向，并不容易受到曲线初始位置的影响；②该方法提供了非线性进化速度函数，可避免边缘泄漏和弱边缘的出现；③该方法中所设计的概率加权停止力可抑制假边缘（即远离待分割图像的边缘）的影响。最后将提出的方法与文献[3]、[4]、[6]、[7]中提出的4种具有代表性的水平集方法应用于人工图像、自然图像和医学图像的分割，并对图像分割结果进行比较。结果表明，本文所提出的图像分割方法更加有效和实用。

1 水平集方法

大多数传统的水平集方法需要通过在曲线演化过程中求解PDE重构水平集函数，每隔几个迭代步骤就会执行重新初始化水平集函数，导致计算量过大。为解决这个问题，Li等[3]在能量泛函中引入了惩罚项，定义为：

其中Ω表示图像域；是水平集函数；μ、λ、ν是常系数；H（-）是Heaviside函数；δ（-）是Dirac函数；g为基于图像边缘的停止函数，定义为：

其中，Gσ是标准方差为σ的Gaussian函數；I表示带分割图像；停止函数g是一个正单调递减函数，随着图像灰度的增加其值逐渐趋近于0。但该方法存在两个缺陷：①该方法对曲线的初始位置敏感；②图像噪声鲁棒性不够。Chan和Vese通过利用分段常函数逼近待分割图像提出了一种基于区域的水平集方法[4]，将能量泛函的外部能量作为拟合误差，定义为：

其中，c1和c2分别表示闭合曲线内部和外部像素的灰度平均值；Chen和Tseng对文献[4]的方法进行了扩展，设计了一种基于贝叶斯最大后验（MAP）的水平集方法[7]，其能量泛函定义为：

其中，ω1和ω2分别表示闭合曲线的内部和外部区域，假设式（4）中的条件概率呈高斯分布，可定义为：

当每个高斯分布的标准偏差为1（σi=1）时，贝叶斯项退化为式（3）的简化形式，因此式（4）也可看作是对式（3）泛化能力的统计。上述基于区域的水平集方法均使用图像的区域特征作为曲线演化的停止条件，可以有效防止边缘泄漏，但在分割图像中不均匀的部分，其表现有所欠缺。

2 非线性自适应水平集方法

2.1 自适应方向函数

为了让曲线演化不必过分依赖于曲线的初始位置，可利用全局统计特征确定曲线的演化方向，假设表示图像区域的公式为：Ω=Ω1+Ω2，其中Ω1和Ω2分别表示目标和背景，这样曲线的演化方向可以通过式（6）确定。

与文献[4]中所提出的函数相比，该函数提供了曲线演化的新规则。为加快曲线演化，文献[3]和[4]均提出将一个常量速度合并至演化方程，该常量的值较大时，弱边界易于遗漏，而值较小时，收敛速度会变慢。为了解决此问题，将自适应方向函数作进一步改进，即：

其中，κ为常量参数，控制曲线演化速度的幅度，本文实验中假设κ=15；ζ也是一个常量参数，表示曲线演化的非线性程度，本文实验中假设ζ=2。

2.2 概率加权停止函数

基于边缘的水平集方法中通常使用基于图像灰度的停止函数对图像边缘进行标识，而基于区域的水平集方法中所采用的停止函数是基于区域信息设计而成。本文将图像的局部和全局特征结合，设计了一个新的基于边缘和区域的停止函数，即概率加权停止函数：

其中，Gσ*I表示对图像I进行高斯平滑处理；m为一个正常数且在本文所有实验中设置为2，当图像灰度的乘积范数和P（Ω1|I）P（Ω2|I）较大时，式（16）将取较小值。

2.3 非线性自适应水平集方法

水平集函数中能量泛函的定义是水平集图像分割方法的核心，本文在文献[3]的基础上，加入上述非线性自适应方向函数和概率加权停止函数，重新将能量泛函定义为：

其中，d为一个正常数；Ω表示图像区域；Ω0表示被初始闭合曲线Ω0封闭的区域；常数λ用于控制加权长度项的影响且取值范围为[1，10]，其值越大，曲线越平滑。endprint

通过将Euler-Lagrange方程应用于能量泛函并人为引入时间变量t，可以得到如下演化方程：

3 实验结果

为了验证所提出方法的有效性，一共进行了3组实验，每组实验将该方法与文献 [3]、[4]、 [6]、[7]中提出的方法分别应用于人工图像、自然图像以及医学图像的分割。在所有实验中，本文所提出方法设定时间步长Δt迭代至10，式（16）中的m=2，式（17）中的μ=0.2/Δt，式（6）中的TP=0.5，式（15）中的κ和ζ分别设置为15和2。

实验1：将5种方法应用于包含3种不同灰度值形状的人工图像中，如图1所示。实验结果表明，本文所提出方法可以检测到3种形状，但因为其采用全局统计特征确定曲线演化方向，不必考虑曲线的起始位置，且可以避免错过局部边缘。

实验2：将5种方法应用于包含肿块且边界模糊的乳腺x线图像，如图2所示。实验结果表明，本文所提出的方法正确地捕获到了所期望肿块边缘的轮廓，因为其混合停止力可以对弱边界进行很好的处理。

实验3：将5种方法应用于包含灌木丛的自然图像，如图3所示。实验结果表明，本文所提出的方法可以有效抑制图像边缘远处区域的灰度变化，不用考虑曲线的起始位置，最终都能得到正确的目标区域轮廓。

4 结语

本文结合图像的局部和全局特征，构造了一种新的非线性自适应速度和加权概率停止力，速度的符号可自动决定曲线收缩或膨胀，速度梯度大小的非线性变化可有效避免图像边缘泄漏；概率加权停止力可有效抑制错误图像边缘的影响并改善对噪声的鲁棒性。由于非线性自适应速度基于两相假设而设计，若要对图像作多相分割，需要使用多个水平集函数，未来考虑将贝叶斯规则与先验信息合并解决此问题。

参考文献：

[1] 王智刚.主动轮廓模型在图像分割中的应用研究[D].西安：陕西师范大学，2014.

[2] 陈雯.基于水平集方法的活動轮廓模型的应用研究[D].上海：华东师范大学，2015.

[3] C LI，C XU，C GUI，et al.Level set evolution without re-initialization：a new variational formulation[C].In Proc.IEEE Conf.Comput.Vis.Pattern Recog.2013：430-436.

[4] T F CHAN，L A VESE.Active contours without edges[J].IEEE Trans.Image Process，2012，2（10）：266-277.

[5] D MUMFORD，J SHAH.Optimal approximations by piecewise smooth functions and associated variational problems[J].Commun.Pure Appl.Math，1989，5（42）：577-685.

[6] M ROUSSON，T BROX，R Deriche.Active unsupervised texture segmentation on a diffusion based feature space[C].In Proc.IEEE Conf.Comput.Vis.Pattern Recognit，2003：699-704.

[7] Y CHEN，D TSENG.Medical image segmentation based on Bayesian level set method[C].In Proc.Med.Imag.Info.，2014：25-34.endprint