圆锥曲线单元复习的教学设计探究

2017-09-04张晓燕

中小学教学研究 2017年7期

张晓燕

[摘要] 根据学生认知结构的需要，在学完一个单元知识后，开设相应的单元复习课，将所学的知识内容进行有机地连贯，让学生更为深刻地认识本章节知识内容的本质属性，从而形成知识的网络结构，这对提高学生运用数学的能力会大有裨益。

[关键词] 单元复习；思维训练；知识网络

一、问题的提出

高中数学的单元复习课是将前面所学的内容进行简单的回顾，还是通过大量习题来巩固知识与技能？教师如何通过精心的设计及点评促进学生对该章节的内容的理解，进而能融会贯通？上述问题若没有解决好，复习课或许就成为新授课的复制品，不但使学生易产生倦怠，而且也很难使学生在原有认知的基础上再上新的台阶。笔者认为，复习课的设计应侧重于归类综合，纵横沟通，才能使知识的网络长期根植于学生的脑海之中。

二、明确目标，精心设计

系统掌握圆锥曲线知识，对圆锥曲线的定义、方程、几何性质、定性研究等方面进行综合复习。进一步体会坐标法解决几何问题，提升学生的思维能力和运算能力。重点是知识梳理归类，形成知识网络，圆锥曲线的综合应用。该课以问题链的形式引导学生梳理单元知识与方法，加强各知识点间的横向联系，将单个的知识连成串，结成网。着重引导学生寻找发现数学的本质，指导学生用类比的方法研究圆锥曲线问题，增强学生举一反三的学习能力。设计把课堂结构顺序调整过来，让学生有效先学，课堂以探究体验为核心，展示交流为途径，实现以学生为主体的学习模式。在教学之前教师精心准备该课的典型例题，以该单元的内容为切入点，从课前练习逐步深化到课中，让学生在已有知识基础上不断地探究更深层次的内容，以螺旋式上升的教学，促进学生掌握本章节知识与方法。

课前练习1、2

1.已知动圆P过点，且与圆N：相切，求动圆圆心P的轨迹方程。若改变圆N的半径，使点M在圆N上或在圆N外，点P的轨迹方程是什么？

2.课本P28推导椭圆的标准方程过程中，有方程①，

②。将②式变形为③，再将③式变形为④。回答下列问题：（1）你能解释方程①、④的几何意义吗？（2）根据③式你能得到什么结论？从函数角度分析③式等号右边的式子，你有什么发现？（3）方程④中的离心率e的范围是时，它表示什么曲线？时，它表示什么曲线？

设计说明：回顾本单元已学的知识与方法是单元知识复习必不可少环节之一，第1题的目的是将知识与方法蕴藏于问题之中，避免了空洞的罗列概念，学生在思考解决问题的过程中回顾相关知识、弄清概念、操练方法、积累经验。

第2题引导学生理解性阅读课本知识，将等式中蕴藏的椭圆的定义、焦半径公式、椭圆上的点到焦点距离的取值范围、圆锥曲线的统一定义等基础知识一一寻找出来，让学生感知各部分之间的联系，从而使得学习内容在学生心目中成为一个知觉整体。旨在将新授课中学习的零散知识串连，学生基础知识得到系统梳理，形成知识网络，构成有机整体。

课前练习3

3.已知是圆锥曲线C的焦点，P为C上任一点，点。

（1）若曲线C的方程是，则PA+PF的最小值是__________；

（2）若曲线C的方程是，则PA+PF的最小值是__________；

（3）若曲线C的方程是，则PA+PF的最小值是__________。

变式：已知是椭圆C：的右焦点，P为C上任一点，点，求PA+PF的最小值。

设计说明：练习3三道题形式类似，解法相同，课堂上指导学生观察三个目标式中PF的系数特征，点P在相应准线上的射影及点A与圆锥曲线的位置关系，引导学生探究求PA+PF的最小值一般解法。反思将目标式转化为（d为点P到相应准线的距离）的目的是什么？将问题转化为求定点A与定直线（与焦点F相对应的准线）上的动点距离的最小值，其几何依据是点到直线的距离最短。

变式与练习3题型貌似相同，但目标式中PF的系数不再为，类比前三题的解法，将PF转化为到相应的准线距离已行不通，思维受阻！引导学生再思考练习1中目标式转化为的目的，类比解决问题的几何本质，解题思路就此打开！设椭圆的左焦点为F1，将目标式转化为，问题转化为椭圆上的动点P与椭圆内两定点A，F1距离之差的最小值，其几何依据是三角形两边之差小于第三边。

通过这一系列问题的探讨，对问题的解决方法进行归类总结，不仅加深学生对问题的数学本质理解，优化了认知结构，而且将圆锥曲线中的这类问题与学生熟知的几何原理联系起来，学生感到熟悉，能较快地使新知在原有的认知结构中找到附着点，知识融会贯通，顺利将新知纳入到旧知结构中，形成牢固的知识体系。

课前练习4

4.在△ABC中，，，直线AB，AC的斜率乘积为，求顶点A的轨迹。

设计说明：练习4是课本的一道习题，蕴含丰富的教学功能。

功能之一：动中有定的好素材。运动变化中寻求变化规律或定点、定值及某特定性质是解析几何研究的重点。若平面内的动点M与两个定点，的连线的斜率分别是，，若为正常数，则点M在以A1，A2为顶点的双曲线上；若为负常数，则点M在以A1，A2为顶点的椭圆上。反之，双曲线上的点与两顶点连线斜率之积为一正常数；椭圆上的点与两顶点连线斜率之积为一负常数。

功能之二：培养学生类比的思维模式。椭圆与双曲线的学习有积极的相互迁移作用，研究椭圆（双曲线）的某一性质时，通过问题的引领，学生会很自然的思考双曲线（椭圆）中有沒有类似的结论。有意识地培养学生的类比思维模式，他们就能经常利用一些简单的类比问题的解答，逐点模仿求解，有时也可利用较简单类比问题的方法或结果去思考解决问题，往往达到事半功倍的效果。

功能之三：具有探究价值。椭圆上异于长轴的点与长轴的两端点连线斜率之积为定值，与短轴两端点连线斜率之积也是定值，由于长轴与短轴的端点都关于原点对称，那么椭圆上关于原点对称的任意两点与椭圆上的任一点连线斜率之积也是定值吗？双曲线上关于原点对称的任意两点与双曲线上的任一点连线斜率之积也是定值吗？这种具有典型性、探究性、发散性的问题，让学生经历合情合理的观察、思考、实验、推导的过程，发现数学的内在规律，认识、理解数学本质，培养数学能力。

三、引导探究、注重思维训练

在实际教学中教师可采用以问题链的形式引导学生展开探究性学习。以课前练习4为例。

问题1：轨迹与轨迹方程的区别是什么？点A的轨迹是双曲线上所有点吗？

设计说明：辨别轨迹与轨迹方程的区别，以及培养思维的严谨性。

问题2：平面直角坐标系xOy中，动点M与两个定点，的连线的斜率之积是不为零的常数，请你给定一个常数，求出相应的点M的轨迹方程。

设计说明：让学生展示交流，发现当给定的常数为正数时，M在以A1，A2为顶点的双曲线上；当给定的常数是负数时，M在以A1，A2为顶点的椭圆上。

问题3：根据讨论，你有什么猜想？请验证你的猜想。

设计说明：渗透特殊到一般数学思想，让学生发现、归纳、验证一般性的规律。

问题4：平面直角坐标系xOy中，是椭圆C：的左右顶点，M是椭圆C上异于的任一点，你有什么猜想？请验证你的猜想。

设计说明：引导学生反过来思考，培养逆向思维。

问题5：平面直角坐标系xOy中，是椭圆C：的上下顶点，M是椭圆C上异于的任一点，成立吗？请说明理由。

设计说明：为引导学生进一步的探索、思考做铺垫。