剥开表象认本质 几何直观助析题

丁坚锋

[摘 要] 本文展示了一道几何题解题思路的形成过程，揭示了它的几何特征，并提出通过引导学生识别几何问题本质特征探究问题解法的教学，有助于学生几何直观的培养和数学活动经验的积累.

[关键词] 解法探究；几何直观

作为一名数学教师，在解题时也会出现“卡壳”的尴尬局面. 笔者在一次备课时遇到一道几何题，想了半个小时没有解决，后来经过一番思索，跳出原来的思路，终于找到了解决问题的办法，真有“众里寻她千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的感觉. 笔者对解題过程进行了反思，并对这个问题的本质特征进行了探究.

问题呈现

试题 （2016年北京市朝阳区中考二模试卷第10题）如图1，△ABC为等边三角形，点O在过点A且平行于BC的直线上运动，以△ABC的高为半径的⊙O分别交线段AB，AC于点E，F，则所对的圆周角的度数（ ）

A. 从0°到30°变化

B. 从30°到60°变化

C. 总等于30°

D. 总等于60°

思考过程

1. 一次失败的探索过程

要说明所对的圆周角的度数等于30°，即证明∠EOF=60°. 笔者从常见的“共点双等腰三角形”图形中得到启示，尝试通过构造等边三角形，证三角形全等，利用全等三角形的性质解决问题.

如图2，在AC上截取AG，使AG=AO，连接OG，得正三角形AOG，所以AO=OG. 由已知得OE=OF，∠OAE=∠OGF=120°. 思来想去也仅能得到这些条件，而这些条件并不能证明△OAE≌△OGF.

然后，笔者又尝试通过改变OG的作法，证明△OAE≌△OGF. 如图3，过点O作OG∥AB，交BC于点H，若能证明BE=BH，就能得到AE=GF，全等的条件也就能满足了，可是，证明BE=BH太困难了. 到此，笔者放弃了这个思路.

2. 在记忆中寻找“旧相识”

经历一次失败的探究之后，笔者重新审题和读图，忽然间，脑子里浮现出了曾经做过的一道几何题，这两道题的条件不同，但是图形特征很相似. 于是，笔者再一次进行了尝试.

如图4，作点E关于直线AO的对称点E′，连接OE′，AE′，易知E′，A，C三点共线，OF=OE=OE′. 设∠OE′A=∠OFA=α，∠AOE′=∠AOE=β，则α+β=60°. 所以∠FOE′=180°-2α，∠FOE=∠FOE′-∠EOE′=180°-2α-2β=60°. 问题得到了解决.

与此同时，笔者发现点E′刚好落在⊙O上，如图5，延长CA交⊙O于点E′，连接EE′，得到等腰三角形AEE′，不难发现∠EAE′=120°，故圆周角∠AE′E=30°. 这个方法（记为解法2）非常简便，令人叫绝，也令笔者陷入深思：还有没有其他的解法？这个方法是不是最简便的方法？是图形的哪些特征决定了这个解法最简便？

3. 借助点的轨迹寻思路

波利亚在《怎样解题》中说道：“在求解过程中，我们很可能再三地改变我们的观点，或者改变考虑问题的途径. 我们应该不断地变更我们的出发点. ”当解题遇到困难时，更要回到已知，选择合适的出发点.

我们要证明∠EOF=60°，则一定存在∠EOF=∠BAC的事实，那么点A，E，F，O一定在同一个圆上，基于这样一个想法，笔者又开始了新的探索.

如图6，设过A，E，F的圆交直线AO于点O′，连接EO′，FO′，则∠O′EF=∠O′AF=60°，∠EO′F=∠EAF=60°，所以△O′EF是等边三角形. 所以O′E=O′F. 所以点O′在EF的垂直平分线上. 因为OE=OF，所以点O也在EF的垂直平分线上. 而EF的垂直平分线与直线AO只有一个交点，故O′与O重合. 问题亦得到解决.

剥开表象，探究本质

1. 改变条件，分析结论的变化规律

笔者在上述解法探究过程中，尝试过将△ABC换成等腰直角三角形、一般的等腰三角形和改变⊙O的半径，进行结论的类比和规律的探究.

如图7，当△ABC为等腰直角三角形时，有∠EOF=∠BAC=90°；如图8，将△ABC换成一般的等腰三角形（AB=AC），当⊙O的半径在变化时，∠EOF=∠BAC仍成立.

若把图1倒过来，便成了图9，这个问题可以叙述为：CN为正三角形ABC的外角∠ACM的平分线，点O是直线BC上的一个动点，连接AO，以点O为圆心、AO长为半径画弧，交CN于点P，则∠AOP=60°. 类似地，将正三角形ABC分别换成正方形、正五边形和正六边形，如图10～12，∠AOP分别为90°，108°，120°. 显然，换成其他的正多边形都有类似的结论，这不禁让人想起∠AOP与正多边形的内角是否有关. 但是，不以AO为半径就没有这个结论，把正多边形的外角平分线换成其他的线，结论也是不成立的.

事实上，正多边形不是必要条件，∠AOP的度数与正多边形的内角也没有必然的联系，那么它与什么有关？

2. 通过对比，发现图形的本质特征

下面以正五边形为例说明正多边形（因为证法完全一样）具有这种特征. 如图14，CN为正五边形ABCDE的外角∠DCM的平分线，易知∠ACB=∠MCN=36°，作点A关于直线BC的对称点A′，连接A′C，则∠A′CB=∠ACB=∠MCN，所以点A′在直线CN上.

因为原问题中具有这个基本图形（图13）的特征，解法2正是利用了这种特征，所以会如此简便.

基于问题解决的思考

探究几何图形本质特征有助于培养几何直观，提高析题能力.

几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，是《义务教育数学课程标准》（2011版）里提出的十个核心概念之一. 它是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知，所以它能帮助学生直观地理解数学.

西方哲学家通常认为，直观就是未经充分的逻辑推理，而对于事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识. 然而，直观需要基于人脑记忆的快速提取和信息的处理. 按照图式理论，人脑中所保存的一切知识都能分成单元、构成“组块”和组成系统. 数学知识可以被提炼成记忆线索和“组块”，如定义、定理、常见的几何基本图形和数学模型等都可以看成是“组块”. 它的优点是“组块”中所包含的知识较简约，结构化程度高，便于识记. 数学解题活动就是利用“组块”特征，从问题中抽取出其特点、本质或者基本的东西，并构建起它们之间的联系，逐步消除目标差，从而找到正确的解题思路.

上文中对图形本质特征的探究就是对问题核心条件的凝练，是对问题深度认知的过程，是提高问题表征能力的过程，也是一种构建内在心理表征的过程. 这种活动就是以已有的知识经验为基础，通过与其他因素的相互作用来构建新的理解，促进数学学习者建立起良好的认知结构，形成新的记忆“组块”. 那么，作为数学教育工作者，就不能一味地追赶教学进度，搞题海战术，而要重视通过向学生展现思路寻找的过程，挖掘问题的本质，使其领悟思维策略的自然与合理性，并鼓励学生从事抽象与概括活动，提高问题表征能力和几何直观能力.