一元一次不等式与一元一次方程的关联与区别

魏思晴

一、关于基本概念

所谓的“一元一次”指的是“只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1”，这是一元一次方程和一元一次不等式的最大相同点.还有一处相同点非常容易被同学们忽略：当我们谈到“一次”时，等号或不等号左右两边的式子都必须是整式.

方程是含有未知数的等式，用等号连接，表达相等关系.而不等式则是用<，>，≤，≥，≠这些不等号连接的，表达的是不等关系.符号的区别是两者在形式上最显著的差异.自然界中的关系里，不等关系更为常见，碰巧相等才是特殊情况.

举个例子，[2x-13]=[5x4]-5是一元一次方程，而[2x-13]≥[5x4]-5则是一元一次不等式.

二、关于基本性质

寻找方程的解的过程叫做解方程.同样，寻找不等式解集的过程叫做解不等式.解方程的依据是等式的基本性质：1.等号两边同时加或减同一个数或整式，等式依然成立；2.等号两边同时乘或除同一个非零的数，等式依然成立.

在不等式中，对于加减也有相似的不等式的基本性质：不等号两边同时加或减同一个数或整式，不等式依然成立，但在乘或除的性质上，有所不同.不等号两边同时乘或除同一个正数，不等式依然成立；同时乘或除同一个负数时，不等号就应该改变方向.

一元一次不等式和方程一样，求解都需要经历去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1这几个步骤，本质上还是通过一步一步地转化，将不等式转变为解的基本形式.在解题过程中，如果出现不等式两边同时乘或除负数的情况，一定要记得改变不等号的方向哦！

以之前的不等式为例，要找到[2x-13]≥[5x4]-5的解集，第一步需要去分母，不等式两边同时乘以12，得到4（2x-1）≥15x-60.接下来涉及去括号，得到8x-4≥15x-60.下一步移项，得到8x-15x≥-60+4.合并同类项，得到-7x≥-56.最后一步系数化为1时，不等式两边同时除以-7，需要改变不等号的方向，得到原一元一次不等式的解集为x≤8.

三、关于解和解集

在一元一次方程中，能使等式成立的未知数的值就是方程的解.同样，在一元一次不等式中，能使不等式成立的未知数的值就是不等式的解.一元一次方程的解通常只有一个，是一个具体的数值，在数轴上对应一个点.而能使不等式成立的解却有很多，在某个范围内，不等式都能成立，把这些不等式的解看作一个整体，就是不等式的解集.不等式的解集在数轴上对应一定区域的连续的点.用≤，≥连接的不等式的解集在数轴上通常是一条射线；用<，>连接的不等式的解集可看成是一條射线去掉端点后剩余的部分.

继续解读文章开始用到的例子，[2x-13]=[5x4]-5的解是x=8，只有这一个值能够使等式成立，在数轴上就是8所对应的那个点.而[2x-13]≥[5x4]-5的解集为x≤8，意思是在不超过8的范围内的任何数都可以让不等式成立，如x=8，x=0，x=[-53]等，它们都是不等式的解.这个不等式的解有无数个，在数轴上对应的点是包括8和在8左边的所有的点，这些点组成了一条射线.

四、关于一元一次不等式组

将两个一元一次不等式联立在一起，就形成了一个一元一次不等式组，在一元一次方程中，并没有一元一次方程组一说.一元一次不等式组的解，就是同时满足几个一元一次不等式的未知数的值，也就是每一个不等式的解集的公共部分.如果几个不等式的解集没有公共部分，也就是说这个不等式组是无解的.

我们在之前举例的不等式上做一些变化，如果不等式[2x-13]≥[5x4]-5与2（x+4）≤3x+3联立起来就形成了[2x-13≥5x4-5，①2x+4≤3x+3，②]分别求出两个不等式的解集，两个解集的公共部分就是不等式组的解集.由不等式①得x≤8，由不等式②得x≥5.得到原不等式组的解集为5≤x≤8.类似地，由三个、四个，甚至多个一元一次不等式组成的不等式组，也同样是分别求出每个式子的解集，再找寻公共部分，即可解出整个不等式组，请同学们自己尝试着解一解[2x-13≥5x4-5，①2x+4≤3x+3，②x-2<1. ③]

在接触新知识的时候，类比以往熟悉的知识，找到相关的联系点，在此基础上对比区别之处，是一种很好的学习方法.同学们在日常的学习和生活中，需要注意积累，善于联想，自主整理、充实、升级自己的知识库，才能让所学皆为我所用，成为大家口中学习不费力的学霸、学神级人物.

（作者单位：南京师范大学附属中学江宁分校）