以简驭繁 简中有道——谈谈简化解析几何运算的七个着眼点

蔡勇全

(四川省资阳市外国语实验学校,四川 资阳 641300)

以简驭繁 简中有道
——谈谈简化解析几何运算的七个着眼点

蔡勇全

(四川省资阳市外国语实验学校,四川 资阳 641300)

解析几何，顾名思义，就是用代数的方法研究几何问题.然而，如果用纯粹的代数方法解决某些解析几何问题，思路虽简单，但运算较繁琐，导致学生在解题过程中明知会求，但就是解不出来，或看着繁琐的式子就生畏，因此，我们应该寻求简化解析几何运算之策．

运算能力；代数推导；优化过程

解析几何是高中数学教学的重点和难点，也是历年高考考查的热点，并且常常以压轴题的形式出现．此类问题的求解思路清晰，但对运算能力的要求较高，不少学生往往会因为繁琐的代数推导而心生畏惧，陷入进退失据的困境，以至出现因放弃不做、胡乱书写、有始无终等找不到恰当运算策略的行为习惯而导致得分率普遍较低的现象，因此，掌握必要的运算技能，避开繁琐的计算，尽可能地简化运算过程，就成为了准确、迅捷地解决此类问题的关键．基于常见的各种条件类型，本文结合实例介绍突破解析几何运算“关”的几个着眼点，供参考．

一、回归定义

“问渠那得清如许，为有源头活水来”．定义正是一切概念的源头活水，也是一切问题设计的出发点和落脚点．曲线的定义深刻地刻画了曲线的本质内涵，所以在解析几何问题面前感到无从下手、止步不前时，利用曲线的定义解决问题，往往能避繁就简，省时省力，符合华罗庚先生提出的“复杂的问题要善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窃”这一观点，这里“最原始而不失去重要性的地方”其实就是研究对象的定义．

二、借助平面几何性质

本质上，解析几何仍属于几何范畴，它与平面几何图形有着密切的联系．在解决解析几何问题时，若能根据图形的特征，借助平面几何性质，如角平分线，中位线，切割线，相交弦，相似比等的性质，往往能帮助我们更加看透问题的本质，形成新颖独特的解题思路，避免复杂运算，收到简化运算步骤之效果．

三、利用向量方法

向量是沟通几何与代数的重要桥梁，它具有几何形式与代数形式的双重身份．它既能体现形的直观的位置特征，又具有数的运算性质，它可以将几何问题数量化、坐标化，尤其是可以使解析几何中的“垂直问题”、“平行问题”、“角为钝角或锐角”等问题轻松获得解决．

变式1 同例2．

变式2 设点A和B为抛物线y2=4x上异于原点的两个动点，且OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线．

解析 设M(x，y)，A(4t12，4t1)，B(4t22，4t2)，其中x>0，t1t2≠0，且t1≠t2，

将①、②代入③可得，点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=4(x>0)，它表示与y轴相切于原点的一个圆(不包括原点)．

评注 从上述实例可以看到，向量方法的优点是思路清晰，过程简捷，不仅可以将几何关系迅速地转化为数量关系，具有事半功倍的效果，而且较好地体现了数形结合思想．

四、设而不求

设而不求是指在解题时，可根据题意设出一些辅助元(参数)，在求解的过程中，不必求出这些辅助元(参数)的值，仅把它作为桥梁或过渡元素，巧妙地消去这些辅助元(参数)，达到降低难度的目的．在解决解析几何问题时为优化运算而常常采用这种方法．

评注 在利用设而不求策略解题时，要注意韦达定理、判别式往往是与其相伴相随出现的．此外，设而不求策略之下的“点差法”也是处理有关弦中点和斜率问题的常用办法．

五、巧设方程

解析几何的本质是用代数方法研究几何问题，而方程无疑是代数方法的一个重要支撑，所以解决解析几何问题时少不了从方程角度进行研究．解题时，若能根据题目的特点恰当地选择方程的设法，则往往能有效地避免分类讨论，简化运算，优化解题过程．

例5 过点P(2，4)且与抛物线y2=8x相切的直线方程为__________．

例5通过设出曲线的一般方程来求解问题，事实上，根据题目的特点，还可以通过设出曲线的参数方程或极坐标方程来解答之．

六、挖掘对称性

解析几何中的各类曲线往往有着优美的对称性，若在解题时能注意挖掘题目中的对称关系，对某些式子的运算作代换处理，也能简化运算，收到事半功倍的效果．

例7 自点A(-3，3)发出的一束入射光线射到x轴上被x轴反射后，其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求入射光线所在的直线l的方程．

评注 从上述实例可以看到，对称为简化计算、有效减少工作量提供了可能性，所以注意挖掘图形的对称性，实际上是为解题寻找一条便捷的路．

七、特殊化或极限化

把研究对象特殊化或极限化向来是探究数学问题的重要手段，在解答一些解析几何问题时，若能善加运用，也可以极大地优化运算，减少计算量．

[1]蔡勇全.回归定义 灵活解题[J]．数理化解题研究，2014(1)．

[2]蔡勇全.“1”在数学解题中的几种妙用[J]．数理化解题研究，2016(10)．

[3]蔡勇全.简化数学运算的若干策略[J]．数学教学研究，2015(1)．

[责任编辑：杨惠民]

2017-05-01

蔡勇全(1980.8-)，男，四川遂宁人，硕士学位，中学数学一级教师，主要从事中学数学教学研究.

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