开槽实心转子电机转子端部系数的计算与比较

黄子果 王善铭 孙宇光 曹海翔 杨占录，2

(1.电力系统及发电设备控制和仿真国家重点实验室(清华大学电机系) 北京 100084 2.海军潜艇学院 青岛 266100)

开槽实心转子电机转子端部系数的计算与比较

黄子果1王善铭1孙宇光1曹海翔1杨占录1，2

(1.电力系统及发电设备控制和仿真国家重点实验室(清华大学电机系) 北京 100084 2.海军潜艇学院 青岛 266100)

开槽实心转子异步电机转子的三维非线性涡流场计算量大，常采用二维有限元结合光滑实心转子端部系数的方法简化计算。但在转差率增大时，采用光滑转子端部系数仿真计算的误差明显增大。根据开槽实心转子涡流分布随转差率变化的规律，提出适用于全转差率范围的开槽转子端部系数。依据该端部系数修正转子电阻率，并采用非线性有限元计算开槽实心转子电机电磁场，可考虑转子端部效应以及定、转子铁心磁路饱和的影响。在不同工况下，对两台不同转子槽数的开槽实心转子样机分别采用不同转子端部系数进行仿真计算，并与实验结果比较。该文提出的开槽转子端部系数的仿真与实验结果较吻合，且在转差率较大时，开槽转子端部系数随转子槽数增多而增大。可为准确计算开槽实心转子电机参数及其设计优化提供依据。

开槽实心转子 端部系数 二维有限元

0 引言

高速电机转速高、体积小、功率密度高，可节约电机制造材料。普通叠片转子的异步电机，转子表面的线速度上限约为200 m/s，而实心转子异步电机的转子表面线速度最大可达约400 m/s[1，2]。实心转子异步电机具有结构简单、耐腐蚀、机械强度高、动平衡性能好、可靠性高等优点，特别适用于气体压缩机、离心机、分子泵等高速领域[1-4]。采用高速电机直接驱动的系统可省去传动带、齿轮变速箱等传统调速机械装置，有利于降低系统噪声，减小系统体积，提高系统效率和可靠性[4]。

早期有学者提出了光滑实心转子异步电机结构[5]，但光滑实心转子电机功率因数低，效率低。为此，国内外学者通过转子轴向开槽、表面覆铜、开槽焊铜、加导电端环等方式改善实心转子电机的电磁性能[1，2]。

实心转子表面轴向开槽，结构如图1所示，开槽影响转子表面涡流的分布，改变转子等效阻抗从而增大转矩[6]。开槽实心转子中的涡流分布计算较复杂，不仅与定子电流频率、转差率相关，还与转子的电阻率、磁化曲线密切相关。另外，实心转子端部效应对转子涡流分布的影响较大。

图1 开槽实心转子Fig.1 Solid rotor with axial silts

转子开槽使实心转子磁场的边界复杂，二维线性解析解难以求得。转子电磁场求解区域可以将一个齿槽区作为求解单元[7]或将整个开槽转子进行等效[5，8]，并采用解析法或磁路法计算转子等效阻抗参数。开槽实心转子磁场的解析计算法通常不能计及转子磁路的非线性，仅用饱和修正系数予以粗略考虑。而二维有限元法可建立实际转子开槽模型并考虑定、转子铁心磁路非线性。二维解析法和有限元法均假设转子磁场在轴向上的分布规律一致。为考虑开槽实心转子电机磁场的端部效应，常用端部系数折算二维解析计算的等效转子阻抗。许多文献直接使用光滑实心转子的端部系数近似修正二维计算时的开槽实心转子电阻率[9-11]，从而考虑端部效应。

文献[11]采用三维有限元法，假设转子铁心线性且气隙磁通密度的边界给定，计算开槽实心转子电机的端部系数，指出了开槽转子电机的端部系数与光滑实心转子电机的端部系数并不相同。但对于实心转子电机完整的三维非线性有限元模型，网格单元数量、矢量场计算量庞大，不适用于电机设计环节。

本文依据开槽实心转子涡流分布随转差率变化的规律，计算开槽实心转子等效极距，并提出适用于开槽转子的端部系数。采用有限元谐波场分别结合提出的开槽实心转子端部系数和现有的不同光滑实心转子端部系数，计算两台不同转子槽数的开槽实心转子电机磁场分布，可考虑定、转子铁心磁路饱和以及转子端部效应的影响。采用提出的开槽端部系数的计算结果与实验结果较吻合，说明了其有效性。

1 光滑实心转子端部系数比较

考虑开槽实心转子电机定、转子铁心饱和时，需采用有限元法计算。开槽实心转子电机的三维非线性有限元计算量庞大，不适用于电机设计。许多文献直接使用光滑实心转子的端部系数修正转子电阻率的方法近似考虑实心转子端部效应[9-11]。常用的光滑实心转子电机端部系数为D.O′Kelly[12]、W.J.Gibbs[13]、R.L.Russel等[14]、H.Yee[15]、傅丰礼[16]提出的端部系数。

D.O′Kelly提出的光滑转子经验端部系数[12]为

(1)

W.J.Gibbs假设转子的涡流只在铁心长度以外的端部区域闭合，且气隙径向磁通密度沿转子轴向均匀分布，得到光滑实心转子的端部系数[13]为

(2)

傅丰礼[16]忽略光滑转子径向电流,将定子电流、矢量磁位沿轴向奇延拓并分解为各次谐波,依据转子三维线性解析求解结果得到转子端部系数为

(3)

R.L.Russel等提出的光滑转子端部系数[14]为

(4)

H.Yee分别求解3种不同磁场约束条件的转子磁场的解，并叠加后得到电机矢量磁位的三维线性解，求得转子线性条件下的端部系数[15]为

(5)

为研究不同转子槽数的开槽实心转子端部系数，本文设计了两台不同转子槽数的开槽实心转子样机，其主要参数见表1。电机转子材料为45号钢，在 15 ℃ 下的电阻率为0.217 8Ω·mm2/m[16]，其磁化曲线参考文献[17]。

表1 开槽实心转子样机主要参数Tab.1 Main parameters of the slit solid rotor motor

二维计算开槽实心转子电磁场时，若直接使用光滑实心转子端部系数，根据表1中实验样机参数，可计算出式(1)～式(5)五个光滑实心转子端部系数。绘制这些端部系数随转差率变化的曲线如图2所示。

图2 光滑实心转子端部系数比较Fig.2 Comparison of different rotor end factors for smooth solid rotor

从图2中可以看出，端部系数KYee和KRussel的计算结果相等，且在五个端部系数中最小。端部系数KO′Kelly最大，端部系数KGibbs和KFu较接近。仅KFu与转差率相关，其余端部系数均为常数。而采用式(2)中W.J.Gibbs提出的光滑实心转子端部系数对光滑实心转子电机进行计算，仿真与实验结果较吻合[18]。

2 开槽实心转子端部系数计算

光滑实心转子的端部系数在转差率较大时不适用于开槽实心转子电机[11]。开槽实心转子中的涡流迫于转子开槽形状，在转子齿上和槽底都有涡流分布。这些沿转子齿壁分布的涡流增大了转子涡流通路的面积，且涡流分布将随转子开槽数量和转差率的变化而改变。

文献[5]依据转子涡流的等效透入深度修正开槽实心转子的极距，将开槽实心转子等效为光滑实心转子，并计算转子等效阻抗。但该等效方法假设开槽转子阻抗角为常数，且等效透入深度的折算与实际情况有较大偏差。本文考虑转子开槽后涡流沿齿槽分布的规律，计算开槽转子等效极距，修正常用的式(2)中光滑实心转子的端部系数KGibbs，得到开槽转子端部系数Kslit。依旧结合二维有限元仿真计算，可考虑开槽后转子阻抗角的变化。开槽转子端部系数Kslit可表示为

(6)

当转差率较大、涡流等效透入深度小于齿宽度的一半时，转子涡流沿齿槽分布如图3所示，齿壁和槽底的涡流呈现波浪形分布，涡流分布面积较光滑转子有所增大，使开槽转子的等效极距增大。此时转子涡流分布示意图如图4所示，沿齿壁的涡流厚度从Δ衰减为Δ1，槽底涡流透入深度厚度近似为Δ1。Δ为由光滑转子计算的透入深度，Δ1可参考文献[7]，根据有限元计算结果中转子齿部和转子槽底磁力线数量的比例估算槽底涡流透入深度Δ1，如式(7)所示。

(7)

图3 转差率较大时开槽实心转子涡流分布Fig.3 Eddy current distribution in slit solid rotor under large slip condition

图4 转差率较大时开槽实心转子涡流分布示意图Fig.4 Schematic diagram of eddy current distribution in slit solid rotor under large slip condition

通常，实心转子的开槽深度都大于转子齿宽的一半。假设透入深度层内电流密度均匀分布且相同，将齿壁涡流折算到转子表面等效透入深度层涡流，从而将转子极距τ修正为等效极距τ′，如式(8)所示。

τ′=Nslit[bt+bs+(Δ1+Δ)(h-Δ)/Δ]

Δ≤0.5btΔ≤h

(8)

式中，Nslit为转子每极槽数。

当转差率较小、涡流等效透入深度大于齿宽度的一半且小于槽深时，转子涡流在齿部被挤压到齿底，沿齿槽分布如图5a所示。此时，转子涡流分布示意图如图6所示，同样将齿壁涡流折算至转子表面涡流，得到转子等效极距τ′的表达式为

τ′=Nslit[bt+bs+(0.5bt+Δ1)(h-Δ)/Δ]

Δ>0.5btΔ≤h

(9)

当转差率较小、涡流等效透入深度大于齿宽度的一半且大于槽深时，涡流分布形式类似光滑转子的涡流分布，如图5b所示。此时，转子等效极距τ′的表达式为

τ′=Nslit(bt+bs)Δ>0.5btΔ>h

(10)

根据表1中不同槽数的开槽实验样机参数，可计算式(6)中不同槽数的开槽转子端部系数K36slits和K72slits。绘制式(1)～式(5)以及开槽转子端部系数随转差率变化的曲线，如图7所示。从图7中可看出开槽转子端部系数不再是常数，随转差率增大而增大。且转子槽数越多，开槽转子端部系数增大得越大。

图5 转差率较小时开槽实心转子涡流分布Fig.5 Eddy current distribution in slit solid rotor under small slip condition

图6 转差率较小时开槽实心转子涡流分布示意图Fig.6 Schematic diagram of eddy current distribution in slit solid rotor under small slip condition

图7 端部系数随转差率变化曲线Fig.7 Rotor end factor curves change with slip

3 仿真与实验结果比较

实心转子开槽数量变化将影响转子涡流分布规律，进而影响转子等效阻抗。为检验第2节中提出的开槽实心转子端部系数的准确性，本节制造了两台定子相同，转子槽数分别为36和72的开槽实心转子试验样机，其转子结构如图8所示，其余主要参数见表1。

图8 开槽实心转子Fig.8 Experimental slit solid rotors

有限元软件和计算机硬件的发展为考虑电机铁心磁路饱和提供了手段和工具。当考虑开槽实心转子中的涡流效应时，只能采用谐波场或瞬态场计算。虽然瞬态场计算能更全面地考虑空间谐波磁场，但耗时长，本文采用二维非线性谐波场近似计算。

采用谐波场计算时，定、转子都静止。考虑速度效应的二维谐波场无法计算磁路非线性的工况，因此必须对转子运动进行频率折算。而开槽实心转子等效阻抗参数随着转差率变化，且与透入深度密切相关。若折算至定子频率计算，转子不动，依据转差率线性修改转子电阻率，相当于改变了实际的透入深度，即改变了转子的等效阻抗，与实际不符。

因此，本文采用折算到转差频率的非线性谐波场，将输入电压以及定子绕组电阻率分别乘以转差率，避免了由转差率修改转子电阻率时引起透入深度的改变。由第2节中提出的开槽转子端部系数和五个光滑转子端部系数分别修正转子电阻率，近似考虑转子端部效应，计算开槽实心转子样机的输出转矩。

定子线电压有效值为220 V和140 V，电压频率为50 Hz，在不同转差率工况下，进行电机负载实验。对比采用不同端部系数计算36槽实心转子电机转矩与实验测量转矩，如图9所示。

在不同工况下，由36槽实心转子电机计算转矩的相对误差取绝对值并做出柱状图，如图10所示。

从图9和图10可看出，在转差率较小时，电机输出转矩本身较小，且采用有限元法计算电机转矩时忽略了电机的机械损耗，因此多数计算转矩都大于实际测量转矩。如图9所示，采用光滑转子端部系数KGibbs的计算结果在转差率较小时与实验较接近，但随着转差率增大，其计算结果与实验结果的绝对误差增大。从图10也可看出，采用光滑实心转子常用的端部系数KGibbs的计算结果在转差率增大时，其误差仍大于10%。在转差率较大时，透入深度效应显著，转子开槽对涡流分布影响的作用也更为显著。而转差率增大时，采用开槽实心转子端部系数K36slits的计算结果与实验结果较吻合。另外，采用光滑转子端部系数KO′Kelly的计算结果与实验结果也较为接近。从图9中也可看到，36槽实心转子端部系数K36slits随转差率增大，且很快趋近于光滑端部系数KO′Kelly。

图9 36槽实心转子电机不同工况端部系数计算转矩与实验转矩比较Fig.9 Comparison of simulation results and experiment results for slit solid rotor machine with 36 slits under different conditions

图10 36槽实心转子电机不同工况转矩计算误差比较Fig.10 Comparison of torque calculation errors for slit solid rotor machine with 36 slits under different conditions

定子线电压有效值为220 V和140 V，电压频率为50 Hz，在不同转差率工况下，进行电机负载实验。对比采用不同端部系数计算72槽实心转子电机转矩与实验测量转矩，如图11所示。

在不同工况下，根据72槽实心转子电机计算转矩的相对误差取绝对值并做出柱状图，如图12所示。

从图11和图12可看出，对于72槽实心转子电机，采用光滑转子端部系数计算的电机转矩与实验测量转矩的误差多在20%以上，甚至更大。如图12b所示，采用光滑转子端部系数KO′Kelly计算转矩的误差也非常明显，因此端部系数KO′kelly不再适用于72槽的开槽实心转子电机。而采用开槽实心转子端部系数K72slits的计算结果与实验结果吻合较好，充分说明本文提出的开槽实心转子端部系数的通用性与有效性。

图11 72槽实心转子电机不同工况端部系数计算转矩与实验转矩比较Fig.11 Comparison of experiment results and simulation results for slit solid rotor machine with 72 slits under different conditions

图12 72槽实心转子电机不同工况端部系数计算转矩与实验转矩比较Fig.12 Comparison of torque calculation errors for slit solid rotor machine with 72 slits under different conditions

4 结论

本文依据开槽实心转子涡流分布随转差率变化的规律，计算开槽实心转子等效极距，并提出适用于开槽转子的端部系数。该开槽实心转子端部系数随转差率增大而增大，且转子槽数越多，端部系数增大得越多。本文建立了两台不同槽数开槽实心转子样机的有限元谐波场模型，可考虑定、转子铁心磁路饱和。结合现有的不同光滑转子端部系数和提出的开槽转子端部系数修正转子电阻率，近似考虑转子端部效应的作用。在不同工况下，比较了实验样机转矩的仿真计算和实验结果，说明了现有的光滑实心转子端部系数不适用于开槽实心转子电机，尤其在转差率较大工况下。验证了本文提出的开槽实心转子端部系数在全转差率范围的有效性，可以用于开槽实心转子电机的参数计算与优化设计。

[1] Gerada D，Mebarki A，Brown N L，et al.High-speed electrical machines：technologies，trends，and developments[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics，2014，61(6)：2946-2959.

[2] 张凤阁，杜光辉，王天煜，等.高速电机发展与设计综述[J].电工技术学报，2016，31(7)：1-18. Zhang Fengge，Du Guanghui，Wang Tianyu，et al.Review on development and design of high speed machines[J].Transactions of China Electrotechnical Society，2016，31(7)：1-18.

[3] Arkkio A，Jokinen T，Lantto E.Induction and permanent-magnet synchronous machines for high-speed applications[C]//Proceedings of the Eighth International Conference on Electrical Machines and Systems，2005，2：871-876.

[4] Pyrhonen J，Nerg J，Kurronen P，et al.High-speed high-output solid-rotor induction-motor technology for gas compression[J].IEEE Transactions on Industrial Electr-onics，2010，57(1)：272-280.

[5] 冯尔健.铁磁体实心转子异步电机理论与计算[M].北京：科学出版社，1980.

[6] Aho T，Nerg J，Pyrhonen J.The effect of the number of rotor slits on the performance characteristics of medium-speed solid rotor induction motor[C]//The 3rd IET International Conference on Power Electronics，Machines and Drives，2006：515-519.

[7] 唐孝镐.实心转子异步电机及其应用[M].北京：机械工业出版社，1991.

[8] Dorairaj K R，Krishnamurthy M R.Polyphase induction machine with a slitted ferromagnetic rotor：II-analysis[J].IEEE Transactions on Power Apparatus & Systems，1967，PAS-86(7)：844-855.

[9] Zaim M E.Non-linear models for the design of solid rotor induction machines[J].IEEE Transactions on Magnetics，1999，35(3)：1310-1313.

[10]Gessese Y，Binder A.Axially slitted，high-speed solid-rotor induction motor technology with copper end-rings[C]//International Conference on Electrical Machines and Systems，2009：1-6.

[11]Jagiela M，Garbiec T.Evaluation of rotor-end factors in solid-rotor induction motors[J].IEEE Transactions on Magnetics，2012，48(1)：137-142.

[12]O′Kelly D.Theory and performance of solid-rotor induction and hysteresis machines[J].Proceedings of the Institution of Electrical Engineers，1976，123(5)：421-428.

[13]Gibbs W J.Induction and synchronous motors with unlaminated rotors[J].Journal of the Institution of Electrical Engineers-Part II：Power Engineering，1948，95(46)：411-420.

[14]Russel R L，Norsworthy K H.Eddy currents and wall losses in screened-rotor induction motors[J].Procee-dings of the IEE-Part A：Power Engineering，1958，105(20)：163-175.

[15]Yee H.Effects of finite length in solid-rotor induction machines[J].Proceedings of the Institution of Electrical Engineers，1971，118(8)：1025-1033.

[16]傅丰礼.异步电动机设计手册[M].北京:机械工业出版社，2002.

[17]兵器工业无损检测人员技术资格鉴定考核委员会.常用钢材磁特性曲线速查手册[M].北京:机械工业出版社，2003.

[18]黄子果，王善铭，倪守辉.光滑实心转子异步电机等效电路参数的二维计算方法[J].中国电机工程学报，2016，36(9)：2505-2512. Huang Ziguo，Wang Shanming，Ni Shouhui.2D calcul-ation methods of equivalent-circuit parameters in smooth solid rotor induction machines[J].Proceedings of the CSEE，2016，36(9):2505-2512.

(编辑 于玲玲)

Calculation and Comparison of Rotor End Factors of Solid Rotor Induction Machines with Axial Slits

HuangZiguo1WangShanming1SunYuguang1CaoHaixiang1YangZhanlu1，2

(1.State Key Laboratory of Control and Simulation of Power System and Generation Equipments Department of Electrical Engineering Tsinghua University Beijing 100084 China 2.Navy Submarine Academy Qingdao 266100 China)

When the nonlinearity of rotor magnetic circuit is taken into account，the huge computation of 3D finite element calculation of slitted solid rotor magnetic field is unavoidable.To simplify the calculation，the 2D FEM combined with end factors of smooth solid rotor is adopted generally.However，the calculation error increases along with the increase of slip when applying end factors of smooth solid rotor for the slitted rotor.This paper puts forward a new rotor end factor for slitted solid rotor using an approximate calculation method due to the eddy current distribution in the slitted rotor.With the 2D FEM and the raised end factor，the effect of saturation in both stator and rotor core and the axial finite length of rotor are taken into account.The calculation results using different smooth rotor end factors and the raised slitted rotor end factor are compared with each other.And the simulation results using slitted rotor end factor agree well with the experimental test results on model machines with different number of rotor slitted.This indicates the raised slitted rotor end factor is suitable for the parameter calculation and optimal design of slitted solid-rotor induction machine.

Slitted solid rotor，rotor end factor，2D FEM

国家自然科学基金项目(51177077)和国家科技支撑计划项目(2014BAA04B02)资助。

2016-08-19 改稿日期2016-12-21

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.L70314

TM346

黄子果 男，1990年生，博士研究生，研究方向为实心转子电机设计和多相电机内部短路故障分析。

E-mail：huangzg.2007@163.com(通信作者)

王善铭 男，1972年生，副教授，研究方向为特殊电机设计分析、发电机内部故障分析和电机电磁场分析。

E-mail：wangsm96@mails.tsinghua.edu.cn