矩阵论教学改革探索

杜海顺+李国栋

摘要：矩陣论是控制科学与工程学科的一门硕士研究生学位课程，具有很强的理论性。本文针对该课程的特点，从教学内容、教学方法与手段等方面进行了教学改革探索。教学实践表明，改革后的教学模式能够调动学生学习积极性和主动性，取得教学相长的教学效果。

关键词：矩阵论；教学内容；教学方法与手段；教学改革

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）32-0080-02

矩阵论是我校控制科学与工程学科开设的一门硕士研究生学位课程。本课程以线性代数和微积分为基础，全面讲述了线性空间及线性空间上的线性映射、矩阵分解、Hermite矩阵与正定矩阵、范数和极限、矩阵函数与矩阵值函数、广义逆矩阵等内容。通过本课程的教学，培养研究生在有限维线性空间框架下分析和解决工程实际问题的能力，进一步激发研究生的学习主动性、积极性和科研兴趣。本课程理论性很强，教学内容具有高度的抽象性和概括性。学生在学习时容易感到枯燥无味，进而失去学习兴趣。然而，矩阵论作为工科研究生的一种基本数学工具，在各个研究领域都有着广泛的应用。在工程技术中引入矩阵理论不仅能使问题的表达更加简洁，而且对问题本质刻画也更为深刻。为此，本文通过对已有教学成果的集成、整合和研究，并结合我校研究生教育教学改革的思路，重点从教学内容、教学方法与手段等方面进行教学改革探索，以达到提高课程教学质量，增强学生学习兴趣，提高研究生应用矩阵相关理论解决工程实际问题的能力，实现教学相长的教学效果。

一、课程教学内容改革

根据控制科学与工程学科特点，精选恰当的教学内容是提高课程教学质量的关键。在控制科学与工程学科领域内，几乎涉及到了矩阵论的所有分支。然而，我校矩阵论课程仅有36学时，不可能学完矩阵论的所有内容。因此，必须精选一些重要的内容作为课堂教学内容。此外，矩阵论中的某些内容在本科线性代数课程中已经学过。为了避免重复教学，在挑选内容时必须具有新意和较高的难度。为此，我们制定了“重要、实用、先进”的原则，并在这一原则指导下，制定了教学大纲，确定了教学内容。目前，我们将线性空间及线性空间上的线性映射、矩阵分解、Hermite矩阵与正定矩阵、范数和极限、矩阵函数与矩阵值函数、广义逆矩阵作为主要课堂教学内容。确定了课堂教学内容后，我们又将课堂教学内容分为详讲和略讲两个层次。比如，对于线性空间及线性空间的线性映射、Hermite矩阵与正定矩阵、范数和极限、矩阵函数的微分等详讲内容，我们分配了24个学时，在课堂上详细讲解其理论意义、定理证明和相关方法；对于矩阵分解、矩阵函数与矩阵值函数、广义逆矩阵等略讲内容，我们分配了12个学时，在课堂上仅简要介绍其思想和相关方法。在课堂教学中，我们不仅讲授矩阵论的相关理论，还非常注重对理论的工程应用介绍。例如，在讲解矩阵特征值问题时，我们会介绍矩阵特征值在线性定常系统中就是系统的极点，可以用其来确定控制系统的稳定和可控性；在讲解线性空间基的概念时，我们会介绍基在子空间学习中的应用实例；在讲解矩阵奇异值分解时，我们会给出奇异值分解在图像压缩的应用实例；在讲解矩阵微分时，我们会给出其在非负矩阵分解中的应用实例等。通过这些实例简介，使学生对矩阵理论有了直观的认识，从而提高了学生的学习兴趣，同事也有助于学生在以后的科研工作中更好地理解和应用相关矩阵理论知识。在课堂教学中，我们还会对教学内容进行及时地更新，补充矩阵理论的新方法和最新研究成果。我校矩阵论课程的主讲教师，都是活跃在科研第一线的科研工作者。我们总是会及时地把与课程内容相关的最新理论、方法和技术介绍给学生。不仅如此，我们有时也会把自己的、与矩阵论课程内容有关的最新科研成果，拿到课堂上作为实例讲解，使学生能更深入地了解导师的研究方向与该课程的联系，从而产生浓厚的学习兴趣。此外，我们还将数学建模与数学软件引入了课堂教学中。数学建模是将工程实际问题表达为数学模型的关键，是学生运用数学相关理论和方法解决实际工程问题的前提。科学计算已成为现代科研的重要手段之一，掌握常用的科学计算软件是一个工科研究生应具备的基本条件。因此，在矩阵论课堂教学中，我们会介绍一系列的计算软件，如Malab，Maple，Ansys，SAS等。尤其是Matlab，它将矩阵的计算、分析、可视化编程多个功能集成起来，丰富的函数库几乎覆盖了矩阵论的所有分支。在整个教学过程中，我们都采用Matlab辅助教学，并要求学生能够用Matlab完成部分课后作业。

二、课程教学方法与手段改革

1.以问题驱动教学，培养研究生问题意识。问题驱动教学法是一种以学生为主体、以学生研究领域内的问题为起点，让学生围绕相关问题寻找答案的一种教学方法。这种教学方法中的主讲教师，仅充当问题的设计者、过程的组织者及结果的评估者。这种教学方法能显著提高学生学习主动性，培养学生的问题意识。在整个教学过程中，学生处于主动地位，因此有着浓厚的学习兴趣。我们在设计问题时，总是紧紧围绕教学目标。设计的问题大多是学生科研领域内的常见问题，由易及难，由浅入深，循序渐进，既不让学生感到突兀，自信心受挫，又能引导学生积极思考，提高学生分析和解决问题的能力。例如，在第一次课上，我们讲解过线性空间的基本概念后，会设计如下的一些问题：“在大家研究的领域内，那些可以用线性空间描述？”“这些线性空间，如何表述？”等等。此外，我们还按学生的研究方向，3—5人分成一组，给他们提出一些应用性的工程问题，并要求他们在学术刊物或者参考书中寻找解决方案。对于学生给出的解决方案，我们会在课堂上进行讨论，最后给出评价以及改进方案。

2.充分利用网络资源，多样化教学。在矩阵论课程教学过程中，我们充分利用信息时代交流方式的多样性，通过门户网站、微信平台等多种方式，为学生提供学习咨询和学习指导服务。在我们的门户网站上，专门设置有“学习心得”、“资料下载”、“经典应用案例”等模块，通过这些模块，学生可以将自己的心得体会拿出来与大家分享，也可以下载期刊论文、参考书、软件等资料，还可以浏览与课程有关的实际工程案例。通过微信平台，我们和学生可以随时随地交流，解决有关课程的相关疑难问题。这种多样化的交流方式，能够有效地将老师与学生紧密地联系起来，及时解决学生在科研工作中遇到的数学难题。此外，我们还探索了微课、慕课等授课方式。微课一般时间在20—30分钟。这种授课方式能够在有限的时间内突出重点和难点，教学效果良好；慕课可以在门户网站上保存课堂视频。如果学生在课堂上有问题没听明白，可以将课堂视频下载下来再次学习。此外，我们还尝试了交互式教学方法。课前预先指定某个学生讲解某一部分内容，并提出具体明确的要求。课堂上，让该生走上讲台，阐述对该部分内容的理解并与其他学生讨论交流，我们再对共同的疑难问题做补充讲解。

3.渗透科研思想，培养研究生独立科研能力。研究生课程教学是影响研究生创新能力的一个重要因素。由于研究生已经具备了较强的自学能力、分析与解决问题能力，因此，研究生课程教学不能像本科生教学那样，教学内容局限于某一两本参考书，教师讲学生听，缺乏培养学生研究能力的环节。在矩阵论课程教学中，为了培养学生的独立科研能力，我们每周都会要求学生至少阅读1篇与课程相关的学术论文，并分组研讨。在课堂上，我们会选出1—2名学生对阅读的学术论文做出总结归纳，提出自己的观点和问题，与同学们进行课堂分析讨论。通过这种方式，不仅加深了学生对课程知识的理解，还培养了学生的文献阅读能力、发现和解决理论问题的能力，从而达到锻炼培养学生科研思维能力的目的。

三、结束语

近几年来，我们通过对矩阵论课程在教学内容、教学方法与手段等方面的改革探索，使教学内容更加合理、教学方法更加科学、教学手段更加丰富，提高了教学质量，取得了不错的教学效果。

参考文献：

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