浅谈高中数学中函数和方程思想的应用例证

靳祥利

摘要：高中数学相对于初中和小学已经相对比较复杂，在逻辑思维上有了更高层次的要求，这就要求学生在解题中熟练掌握基本的思想概念，运用基本思维解题。在数学的教学过程中也应该做思维逻辑上的引导锻炼。进一步分析函数与方程思想的特点，将逻辑思维解题运用到具体实践中加以分析。

关键词：高中数学 函数和方程 解题思想 实践应用

高中数学中函数方程极为重要，这不仅是表现在课本所占比重上更是表现在实际的解题过程中，是对于数学教学中的数学能力和数学本质上的更高层次的要求和体现。对于高中生而言，这一解题能力的培养比固定解题步骤就题论题来的更有意义。

一、关于函数与方程思想

（一）函数思想

从某种意义上讲，函数思想就是在变化中找寻动态的不变，针对具体的数量关系建立起函数关系或是构造函数，并利用建立的函数关系性质和函数图像来解决分析复杂问题，将复杂问题简单化以最终解决题目。解决函数问题首先具备函数思想，用思维逻辑构造整个解题思路，以不变应万变，通过具体的观察和分析把握解题关键，建立最终函数关系来分析解决具体问题。

（二）方程思想

数学的任何思维活动都是建立在数学思想的基础之上的，与其说解决问题所需要的是精确的计算和公式处理，不如说所有的步骤都是建立在数学思想上，真正的解题策略不是步骤而是思路也就是数学思想，数学方法的运用在数学思想中实现具体反映，所以可以说数学的关键是数学思想，所谓方法只是思想指导下的行为体现而已。方程思想主要是通过对数学问题中变量的分析，把握其中直接间接的关系，将隐含的或是表明的具体关系用方程或是方程组的形式呈现在具体的解题过程中，使得复杂的关系条件简单化，变得条理清晰分明，在构造方程的过程中需要充分了解和运用方程的性质，学会转化和分析，将文字转化为关系式，这个过程需要学生对整个的方程概念有足够了解和认识，用方程的思维去观察和分析，最终达到解决和处理问题的目的。

二、关于解题思想的运用

（一）數学方法和数学方法总论

方法一般认为是指研究或认识的某种途径和理论，从理论和现实实践中把握最合理的解决方案和操作手段，方法也就是方式和途径选择，所以方法从科研的角度上讲，是人们用以研究问题、解决问题的工具和手段。数学方法是在数学领域中所讲的概念，主要是指数学活动过程中的途径、程序及操作手段。狭义上所认为的数学方法是指处理数学问题过程中所采取的各种途径和手段，而广义上又可以将这一概念扩展理解为对某一具体研究对象的性质进行分析和总结，最终构建数学模型的行为，使得整个的数学解题概念更加的逻辑性，遵循其中的符号意义和公式公理，在这一基础之上对数学符号进行符合逻辑的运算和推演，从而进一步的揭示研究对象的本质规律，找到符合其特点的最佳解决方法，数学步骤只是解决基本的数学问题，或复杂或简单，但基本数学思想构建的是一种解决问题的思想，它已经不仅仅局限在解决数学问题上，而是会受益在日常生活的方方面面，是一种分析问题解决问题更加客观理性的思维方法。数学思想分为多种类型，方程思想和函数思想是属于最基本的概念型数学思想，这类思想需要建立在相关的数学概念的背景基础之上，这就要求学生和教师充分理解和把握数学的基本理论概念，做到灵活掌握运用，从而在熟练的解题思路中形成方程和函数解题的数学思维。

（二）函数与方程思想运用

高中数学问题中涉及多种函数类型，一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、复合函数，等等。与之相配合使用的少不了方程，当然还有不等式问题和数列问题，这也恰恰从另一个方面论证了函数思想方法的应用涉及多种方面，应用范围面十分广泛，在整个的高中数学中属于至关重要的解题思想。在具体的解题过程中要注意把握函数的基本性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，等等，还要充分结合其他的解题思想，如图形结合、分类讨论，化归转化，将文字的条件转化为更为直观的函数图像，化繁为简、化难为易、化未知为已知，列出其中关联的数量关系，建立方程或者方程组，进一步分析变化的特殊和一般。以实际例题说明，已知，（a、b、c∈R），则有（ ）；（A） （B） （C） （D）

解法一：依题设有：a·5-b+c=0

∴是实系数一元二次方程的一个实根；∴△≥0∴故选（B）

解法二：去分母，移项，两边平方得：≥10ac+2·5a·c=20ac

∴故选（B）。解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为b2是a、c的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。当然，针对具体的数学问题，首先要考虑是否可以用一个代数式抽象成为一个函数，将方程转化为函数关系，将字母视为基本变量，再针对变量考虑是否可以符合基本函数，图像是怎样的，通过转化为的函数运用函数的不同类型性质和图像来进一步分析解决问题。

比如，已知弹簧的长度y（厘米）在一定的限度内是所挂重物质量 x（千克）的一次函数.现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米，求这个一次函数的关系式。分析：已知y与x的函数关系是一次函数，则关系式必是y=kx+b的形式，所以要求的就是系数k和b的值.而两个已知条件就是x和y的两组对应值，也就是当x=0时，y=6；当x=4时，y=7.2。可以分别将它们代入函数式，进而求得k和b的值。设所求函数的关系式是y=kx+b，根据题意，得b=6①，4k+b=7.2②，解这个方程组，得b=6，k=0.3所以所求函数的关系式是：y=0.3x+6。不是所有的问题都可以简单的将字母转化为函数来进行处理，有必要的话也可以考虑建造辅助性函数来帮助自己解决更为复杂的数学问题，对于一个等式问题，可以试着将等式看成含有未知数的方程加以思考处理，在面对方程时需要明晰方程性质，考虑方程根的正负问题以及相对区域范围，思维的形成离不开重复的演练和熟悉，这样才能使自己灵活的掌握和运用这些基本思想来解决多变的数学具体问题。以应用型题目为例，在解决这类题目之前首先要明白命题意图和题目所表达的条件意思，将文字抽象为数学性的表达语言，建立基本的数学模型和关系式，在这个过程中运用函数的性质和图像等知识来把握分析，其实最根本的就是找准变量之间的关系，列出函数关系式，表现在一般的题目中也就是关于基本未知数的方程式，这其中需要主要的是函数未知数的定义域和值域的问题，在没有明确的表明限制条件的情况下也要注意考虑实际问题是否符合，根据实际问题情况把握未知数的取值范围，列出准确的方程式，当然这一过程中可以尽可能地利用图像，图像的直观反映不仅有利于发现关键，在某种程度上还有一定的检验和提醒的作用。

三、结束语

数学不只是在教育中占据一席之地，更是一个国家富强的重要支撑。仅仅让学生通过数学的学习掌握基本的知识和公式理念是不够的，更为重要的是使他们在数学的学习中，在解决具体的数学问题中把握住逻辑思维的方法，函数与方程的思想不仅作为高考的重要考点存在，更是人生各种问题处理的理性思考，在整个的成长和生活中都具有十分重要的意义。

参考文献：

[1]侯青华.高中数学中函数与方程思想的研究分析[J].高中数理化，2014，（14）：9.

[2]欧阳可慧.高中数学中函数与方程思想的研究[J].数学学习与研究，2014，（21）：83.

[3]邹丽丽.函数与方程思想在高中数学解题中的应用[J].高中数理化，2014，（22）：6.