浅谈微分方程衔接性教学

王珺+贺莉

摘要：本文探讨了微分方程在高等数学教学过程中所面临前后衔接的问题，分析了微分方程教学过程中与基础数学课和专业课之间衔接的诸多问题，进而给出在教学上的应对措施和建议。

关键词：微分方程；数学模型；Matlab

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）33-0155-02

一、引言

微分方程是一门古老又重要的数学分支，它用来描述各种实际现象，对处理动态时间问题起到至关重要的作用。微分方程作为理工科必修课程，是本科阶段数学模型中最常用的建模方法，在整个高等数学的教学过程中起到承上启下的关键作用。在微分方程的教学中，首先需要同学们掌握微积分的相关知识，熟练运用初等函数的微分、积分技巧解决一维常微分方程。而在处理多维微分方程组及高阶方程时，大量线性代数和矩阵知识是主要工具。这就要求学生在之前的数学基础课上打好基础，这样微分方程课程才能顺利进行。而将掌握的所有数学知识应用到各自专业学习上，正是通过微分方程课程作为衔接。如医学影像工程学、地震侦测与预测、电磁场方程、热传导方程、生物种群演化、金融衍生品价格的确定等都是微分方程，涵盖了理工学科的方方面面，甚至包括管理、经济、金融等文理兼修的学科。可以说没有微分方程就没有现代的信息社会。但目前，微分方程教学上还存在诸多问题。例如，本科数学教学往往注重高等数学、线性代数和概率论三大考研内容的基础数学课。对微分方程重要性的认识不够，压缩微分方程教学课时。其次，微分方程分为理论与计算两部分。计算部分有数值计算方法等需要运用计算机辅助教学，而微分方程课程只有理论课时，国内基本没有配套的实验课程。本文将重点关注微分方程在教学过程最为关键的一环——基础课与专业课教学前后衔接性问题。

二、微分方程在高等数学教学中出现的衔接问题

为了更好地阐述问题，我们首先来看一下微分方程主要学习什么内容及其学习的目的。

1.求解一阶方程、二维一阶方程组、二阶线性方程、一阶线性方程组等常用微分方程的常规解法。

2.上述微分方程的数值解法。

3.Laplace变换求解微分方程组。

4.非线性微分方程及其稳定性。

5.数学建模。

前三项内容可以归为一类——学习用不同的方法求解各类微分方程。该内容是学习微分方程的基础，也是学习重点。因为面对不同的方程采取的方法都不一样。首先应学会判断方程类型，采取对应的求解方法。内容多，记忆量大，求解步骤复杂，后期计算量颇大。其中Laplace变换是区别于微积分求解的另一套求解微分方程的方法。好处是求解各类方程采取的方法统一，缺点也很明显，学生需要重新学习一套求解系统。对应于微分和积分，Laplace变换也大量变换与逆变换公式，这恰恰是学生们从未接触过的。

第四项非线性方程稳定性问题，是微分方程的难点。学习如何通过不求解方程，判断解得性质和趋势。

最后一项，数学建模，是微分方程区别其他数学基础课的关键点。所有的前期学习内容都是为了解决实际问题而服务的。根据问题背景，通过分析变量之间的关系，列出相应的微分方程，构建数学模型，进而求解。

根据上述的内容，我们可以得出微分方程课程是学习高等数学课理论知识过渡到专业课的桥梁，起到承上启下的关键作用。下面分别考慮衔接中出现的种种问题。

（一）微分方程与基础数学课的衔接问题

大学基础数学课是大学生公共必修课，本身难懂难学。往往学生不知道为什么要学，学完微积分、线性代数都有什么用？而作为基础数学课的老师却解答不了学生的疑问。学生没有带着问题去学，学习的积极性不高，仅仅把数学课当作任务完成，学习效果自然不好。这就造成学生进入后期微分方程学习时，数学基础薄弱，关键知识掌握不牢。等到学习微分方程的时候，知道要解决具体的问题是什么，却不知道如何解决，需要重新学习基础数学，悔不当初。

另一方面，一门基础数学课一个学校统一教学大纲，各个专业学习的内容几乎一致，完全没有侧重点。后续微分方程的教学上学生都会感慨需要用到的知识之前并没有熟练掌握。这些知识在当初学习中可能并不突出，也不作为考试的考察重点。例如，微分方程中不仅要求学生掌握复合函数求导、两个函数积的求导，还需要公式会逆向应用。这样，微分方程教学过程中需要重新讲授微积分、线性代数甚至是复变函数的内容，造成了教师和学生大量重复性工作，也挤压了正常微分方程教学的课时。

（二）微分方程与专业课的衔接问题

微分方程作为数学建模的重要手段，就是用来解决生产生活中大量实际问题的。到这个阶段，各个专业的差异性才凸显。而在具体操作上，微分方程课程往往安排在大二下学期或大三进行，几乎与专业课同时开课。专业课老师讲完本专业内容时对模型的具体解法需要微分方程课程来解答。而显然微分方程的学习需要循序渐进，不可一蹴而就。学生同时学这几门课往往一知半解，知识体系不完整，吸收没有连贯性，教师和学生都感到无所适从。

微分方程作为一个庞大的数学分支，内容多而课时有限。若单纯地教授计算方法与稳定性理论，学生没有解决实际问题的需求，又会出现微积分教学上的问题，不知道为什么学？生活中似乎见不到微分方程？有这样的疑虑就不能使微分方程教学达到好的效果。而既介绍理论计算又教授如何建模，又会与部分专业课重叠，甚至由于教材不同，建模的思路也不同，造成学生的困惑。目前，大多数微分方程课由公共课教师讲授，与专业课教师分属不同部门。双方交流的机会实在有限，所以微分方程与专业课如何衔接值得关注。

三、应对微分方程教学上衔接性的改进建议

（一）由成熟的数学教师讲授微分方程课程

成熟，代表你对高等数学有充分的理解。没有教授过几轮微积分、几轮线性代数的教师直接让他们讲微分方程是极其不合理的。微分方程的内容是要求教师对之前基础数学课非常熟悉，在学生遇到对之前数学知识遗忘的时候，能简明扼要地讲解相关内容，做好承上的衔接。

另一方面，这里说的成熟不是单一的成熟。即使讲过二十年微积分的教师也不能高质量地讲授微分方程。我们常说对于一个教师而言，要有扎实的基本功，需要他能将整个高等数学体系融会贯通。优秀的微分方程教师需要知道在学生未来的学习上，哪些数学知识是贯彻始终的，哪些部分是有专业侧重点的。例如，面对电气专业的学生，微分方程教材中很少有详细介绍Laplace变换的，往往一两页简述一下。但该专业需要掌握电路设计等问题，这些问题可以由Laplace变换求解。作为教授该专业的微分方程教师就应该将这部分内容补充进来，详细讲解Laplace变换，扫清学生在今后学习专业课的障碍。

（二）教材的选取至关重要

微分方程近年来发展迅速，分支众多，出现大量的本科教材。按内容可以将微分方程分为四個部分：解微分方程、稳定性理论、数值方法求解方程和数学建模。目前的教材大多侧重一两个方面，这与国内本科教学的课时有关。因此，这样的教材往往对应不上专业的需求。有的专业教材主要是数学建模，可是学生有自己的专业要求，却不会解微分方程。还有的教材稳定性理论讲解得过于深入，而学生根本理解不了，也应用不上。这就需要开课的时候，详细了解本专业的教学需要，选择一本适合该专业学生的教材，保证与未来专业课的连续性教学。

（三）Matlab实验教学与理论教学结合

近十多年来，微分方程的应用领域不断扩大，由于所研究的实际问题的规模越来越大，越来越复杂，涉及的变量越来越多，因此，大规模的微分方程计算方法就成为重要的数学工具。传统的微分方程教学偏重自身的理论体系，重视理论和计算，因此授课方式多采用传统的黑板板书和“概念—定理—解法—习题”的模式。传统的黑板板书的教学方式，有利于理论内容的讲解，能够让学生了解每一步的理论依据、逻辑过程。但缺乏交互性和实用性，不利于调动学生的主观能动性和学习兴趣，解决不了具体的复杂问题。我们在教学上，期望在以后实际应用面对多变量复杂计算时，学生可以将所学的微分方程课程学以致用，而不仅仅是了解简单的理论知识却不能解决实际问题。

四、结语

本文主要关注了微分方程课程在整个高等数学教学中前后衔接的问题。随着基础数学学科和应用数学学科不断融合发展，如何更有效地实现高等数学连续性教学成为热点问题。长春工业大学目前有一试点教学。由一成熟的数学教师负责某一专业全部数学课程：微积分、线性代数、概率论、微分方程等。该教师从大一教授至大三，与学生关系紧密，可自主安排课程，务必对应专业学习有的放矢，最大程度地保证教学的连续性。该举措我们将在教学实践中不断改进，加以验证。

Analysis and Improvement of Coherence Teaching of Differential Equations

WANG Jun，HE Li

（School of Basic Science， Changchun University of Technology， Changchun，Jilin 130012， China）

Abstract： This paper discusses the problems in coherence teaching of Differential Equations in advanced mathematics teaching. We analyzes a lot of coherence problems of basic mathematics course and professional course with Differential Equations. Moreover， corresponding counter measures and suggestions are given.

Key words： differential equations；mathematical model；Matlab