用折纸探索两角和正弦公式的证法

张贺珍

【摘 要】由于传统的理论证明两角和的正弦公式对于中职学生来说理解难度过大，本文重点阐述如何开展折纸活动来证明两角和的正弦公式，配以图形及操作方法，以便于同仁应用教学。

【关键词】折纸；中职数学；两角和的正弦公式

两角和的正弦公式是高中阶段三角函数中其中一个公式，该公式的证明需要借助向量的数量积来进行，总的来说这样的理论证明对于数学知识极其薄弱的中职学生来说是巨大的挑战，很多学生都是云里来雾里去，完全無法听懂，因此对于这个公式大多中职数学教师都会省去证明这一块，直接教学生如何去应用这个公式，尽管教师也知道这样并不好，但是却也没有更好的选择。

笔者一直觉得这是一种缺憾教学，因此不间断地寻找适合中职学生理解的方法进行该公式的证明。一次偶然的机会笔者有幸在西南大学黄燕苹教授的引领下接触了折纸数学。我们知道活动教学可以培养学生的动手能力、观察能力、想象能力和创造性思维能力，而折纸又是学生容易产生兴趣的活动。这个学习机会让我豁然开朗，也许我可以通过开展折纸活动，来带领中职的学生体验并证明两角和的正弦公式。

由此我开始思考怎样开展折纸教学探究活动，从而利用折纸证明两角和的正弦公式：

探究1：如何通过折纸表示sinα，cosα，sinβ ，cosβ

【思路】若一个直角三角形的斜边是1，则它的直角边可以用锐角的正弦值或余弦值表达。

操作1：如图1-1可以折出一个直角三角形，我们可以假设ON=1，展开后如图1-2。

操作2：设∠AON=α，则AN=sinα、AO=cosα.

操作3：仿照操作1折出一个新的直角三角形，但要保证新直角三角形的斜边长度与前面的直角三角形的斜边长度一致，这时我们可以仿照操作2得到的线段表达.

探究2：如何在一张矩形折纸中折出4个斜边相等的直角三角形。

将原矩形纸张的边缘在另一张较大的纸上画出两个，然后将剪下的四个直角三角形【假定它们的斜边均为1】按照一定的规则拼在矩形框图中（如图3-1、3-2），容易得到两个图中空白处的面积相等。（我们设四个三角形的斜边长均为1，在图中规定出角α、β）

这部分内容由老师引导出来【借由勾股定理的折纸证明引导学生进行类比思考】

这是一次教学实践，在实践中发现学生对折纸活动很感兴趣，同时他们也通过折纸回顾了初中相关的几何知识，学生普遍反应他们通过这次折纸所用到的几何知识给了他们很大的震撼，原来几何还有这么活泼的一面，尤其是在最后通过拼图证明出两角和的正弦公式时，学生甚至发出了惊呼声。

通过折纸活动证明两角和的正弦公式既有其优点，也有其缺点。优点是：①学生能够体验理论到实践的操作过程，增强了学生的动手能力，让学生看到不一样的数学。②折纸可以让两角和的正弦公式很直观的表现出来，对中职学生来说理解起来特别容易。③折纸教学可以有效提升学生学习数学、理解数学的能力。缺点是：①通过折纸折出的α，β只能是锐角，对于超出锐角范围的角无法证明。②折纸活动需要的时间跨度大，也需要对初中的数学知识进行灵活运用，很多中职学校的数学周课时很少，这会让很多中职老师难以用几周的时间去开展折纸活动。

参考文献：

[1]黄燕苹，李秉彝.《折纸与数学》.科学出版社，2012

[2]黄秦安.《数学教师的数学观和数学教育观》[J].数学教育学报，2004年11月，第13卷第4期.