投影法找“线线平行”

李秋

摘 要：“”，这是空間几何中，线线平行、线面平行、面面平行三者的联系，揭示了平行关系的本质.在实际操作中，难点往往是寻找线线平行，无论是证明线面平行，还是对线面平行的应用，都涉及寻找线线平行.

关键词：投影法；线线平行；定理

将一支笔放在桌面的上方，且平行于桌面的位置.在灯光的照射下，会发现笔所在直线与它的影子所在的直线是平行的.由此得到启发，在找线线平行时，若能在需要的面内找到已知直线的“影子”，即可找到线线平行.而投影又分为中心投影和平行投影，所以一般找“影子”，我们从两种不同的投影方式来进行.

例1.如图3所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面对角线 AB1，BC1上分别有两点E，F且B1E=C1F，求证：EF∥平面ABCD.

【分析】我们考虑从线线平行的角度证明该题.

【方法一】：光线从EF的上方往平面ABCD正投影，由于是正投影，显然此时的光线必定是垂直于下底面ABCD，故此时的“影子”应是直接在EF上取点，往平面ABCD引垂线，垂足的连线即为我们需要的“影子”.

【证明】：如图4，过E作EE1交AB于一点E1，过F作FF1⊥BC交BC于一点F1，连结E1F1.（显然，E1F1即为我们需要的“影子”，下面只需证明EF∥E1F1，可以通过证明四边形EFF1E1是平行四边形即可），∵EE1∥FF1，又B1E=C1F，故AE=BF，∴△AEE1≌△BFF1∴EE1=FF1，故四边形EFF1E1是平行四边形.

∴EF∥E1F1，又E1F1∪平面ABCD，EF∪平面ABCD

∴EF∥平面ABCD.

【方法二】：当光源由线光源变成点光源，即投影变成中心投影的时候，亦可在地面形成直线EF的“影子”.取B1为点光源的位置，则此时在底面ABCD的“影子”为B1E和B1F于底面ABCD 的交点的连线.

【证明】：如图5，连结B1F并延长，交BC的延长线于点O，连结AO.（显然，AO即为我们需要的“影子”，下面证明EF∥AO

即可）

由题意可知， = ，又B1E=C1F，∴ = ，

故 = ，

∴EF∥AO，又AO∪平面ABCD，EF∪平面ABCD

∴EF∥平面ABCD

【总结】：“影子”根据投影而定，根据特定的题目，选择合适的投影方式（中心投影或者平行投影）和投影方向（平行投影）或投影点（中心投影），从而确定最容易得到的“影子”，以便进行证明得到做题时需要的线线平行.

变式：如图6所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PC的中点.求证：MN∥平面PAD.

编辑 鲁翠红