新课程下微分基本定理教法探究与分析

刘旭

一、教材分析

1.教材的地位及作用

《微積分基本定理》安排在普通高中课程标准实验教科书人教B版选修2—2，1.4.2节.微积分基本定理给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要、最辉煌的成果.

本节课是学生学习了导数和定积分的概念后的学习内容，它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时为计算定积分提供了一种有效方法，为后面的学习特别是高等数学的学习奠定了基础.因此，它在学生学习中起到了承上启下的作用，在教材中处于极其重要的地位.

2.教学目标

根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点，依据新课程的标准要求，确定本节课的教学目标如下：

（1）知识与技能目标：

①了解微积分基本定理的含义.

②会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分.

（2）过程与方法目标：

通过直观实例体会用微积分基本定理求定积分的方法.

（3）情感、态度与价值观目标：

①通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，提高理性思维能力；

②了解微积分的科学价值、文化价值.

3.教学重点、难点

重点：使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分.

难点：了解微积分基本定理的含义.

二、教法和学法

1.教法设想

我的教学设计主要采用探究式教学方法.即“问题诱导—启发讨论—探索结果”以及“直观观察—归纳抽象—总结规律”的一种探究式教学方法，注重“引、思、探、练”的结合，引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的

学习.

2.学法指导

通过山体高度的表示过程，体会微积分基本思想的运用；体会微积分学在认识论上的价值，体会任何高深的理论都源于简单的、基本的事实；任何复杂的事物都可以化解为一个一个的简单问题；体会用微观认识宏观的辩证方法.

三、教具

多媒体课件，白板辅助教学.

四、教学设想

1.创设情境

定积分是怎样定义的？尝试用定义计算 dx.

2.探索新知

问题1：有没有其他途径来计算这个函数的定积分呢？我们再来看看爬山的过程.

——以学生现有的知识水平联想到导数和定积分的内在联系并不现实，但相同的事例会激发部分学生大胆猜想两者之间或许有所联系.根据学生反应适时地加以引导，令大多数学生回想起导数概念的引入曾用此例.

问题2：如果曲线F（x）代表一段山脉，之前我们借助它的陡峭程度认识了平均变化率，现在如果想求山的高度，大家有什么办法？

——F（b）-F（a），结合图象学生很容易得到相应的数学表达式.

问题3：如果在山上设有C和D两个观测台，山体的高度可以表示成什么形式？

——[F（c）-F（a）]+[F（d）-F（c）]+[F（b）-F（a）]，即通过分割，高度又可以写成累和的形式.

通过图形，刺激学生知识的最近记忆区，为无限分割，以直代曲思想的运用做铺垫.

问题4：a，c间的高度差可以用累和的形式表示吗？山高h又可以怎样表示？

——h=h1+h2+h3+…hi+…+hn，学生具有无限分割，以直代曲的基本思想，通过前面知识的铺垫有能力类比求曲边梯形的面积的方法对所求复杂问题进行分割.

问题5：如何求解hi？

——体会用微观认识宏观的辩证方法.有以直代曲的思想作指导，学生可以提炼出直角三角形的模型.由于学生对直角三角形本身已经非常熟悉，而在导数概念引入时对这个模型有了更充分的认识，因此，能自发将斜率与高联系起来.hi=F（xi+1）-F（xi）= Δx

当Δx→0时， →F′（xi）

即hi≈F′（xi）Δx

这一过程既体现了定积分的基本思想，又突出了导数的几何含义.学生充分体会数形结合这一最基本的数学思想方法.

3.归纳总结

问题6：能用文字语言描述一下这个公式吗？这个公式又有什么作用呢？（请大家打开书，了解微积分基本定理.）

——学生根据公式形式易观察得出“一个函数的导数从a到 b的积分，等于这个函数在右端点的值减去它在左端点的值”.通过由直观的符号语言转化为抽象的文字语言的过程，学生慢慢体味导数和求积分两种运算间的联系.

4.知识巩固

练习：计算 dx.

思考探究：如果路程s=s（t），则时刻t的速度v（t）=s′（t）.你能从导数和积分的定义来说明微积分基本定理成立吗？即： s′（t）dt=

s（b）-s（a）.

——从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数为v=v（t），那么在时间区间[a，b]内物体的位移s可以用定积分表示为

s= v（t）dt；

另一方面，从导数角度来看：如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s（t），则在时间区间[a，b]内物体的位移为s（b）-s（a），所以又有 v（t）dt=s（b）-s（a）.

由于s′（t）=v（t），即s（t）是v（t）的原函数，这就是说，定积分 v（t）dt等于被积函数v（t）的原函数s（t）在区间[a，b]上的增量 s（b）-s（a）.

通过分析说明，学生巩固和深化所学知识，提高认识，归纳得出微积分基本定理的特例，体验从一般到特殊的数学思想方法.

5.课堂小结

通过山体高度计算的探究，遵循着微积分学的基本思想，沿着古人的脚步，体会了微积分基本定理的发现过程，将两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题），感受到数学的奇妙和魅力.明确了求定积分最终转化成求原函数的问题.

6.教学感想

学习任何知识的最佳途径即是由自己去发现，因为这种发现，理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系.本节课由学生直接发现两者联系并不容易，但求高这一情境的创设为学生的“发现”提供了途径，并在后面的教学中，尽力把学习主动权交给学生，让学生在自主探索中学到知识、掌握方法、提高

能力.

编辑 鲁翠红