Fitting长等于3的小群
2017-08-14唐锋
唐 锋
（常熟理工学院 数学与统计学院，江苏 常熟 215500）
Fitting长等于3的小群
唐 锋
（常熟理工学院 数学与统计学院，江苏 常熟 215500）
设G是阶不超过50的有限群，且G的Fitting长等于3. 本文给出了G的所有分类.
有限群；Fitting长；可解群；群阶
1 引言
本文中G总表示一个有限群，p，q，r表示不同的素数. 对有限群的研究离不开群例的支撑，群例使得对群性质有具体理解，又可避免在研究某一群性质时，这样的群是不存在的，即出现所谓“空中楼阁”.因此，构造或找出满足特定性质的有限群是必要的. 进一步，对具体的群例研究，可以发现新的群性质并深入研究.
设G是群，F( G)为G的Fitting子群，F1( G)=F( G)，F2( G)F1( G)=F( G F1( G)). 一般地，Fk+1(G)Fk( G)= F( G Fk( G))，k=1，2，L. 于是得G的一个特征子群列1≤F1( G)=F( G)≤F2( G)≤L≤Fk( G)≤L. 因为G是有限群，所以该特征子群列只能有有限项. 若G不可解，则一定存在正整数k，使得Fk( G)=Fk+1(G) 本文中的符号都是标准的，参见文献［5］. 引理1（文献［6］定理1.31） 设群G的阶为p2q，则G的Sylow子群至少有一个是正规子群. 引理2（Burnside） paqb阶群必可解. 引理3（文献［6］定理5.16） 设群G的所有Sylow子群皆循环，则G′和G G′都是循环群且阶互素. 引理4 设群G的阶为p2q2，则G的Sylow子群至少有一个是正规子群. 证明 设P∈Sylp(G)，Q∈Sylq(G). 不妨p 因为P不正规，所以n2( G)>1，故n2( G)=3或9. 假设n2( G)=3. 令K=NG(P)，则从而GcoreG(K)同构于S3的一个子群. 特别地， 假设n2( G)=9. 此时NG(P)=P，O2( G) 引理5 设G是24阶群，且G的所有Sylow子群皆不正规，则G≅S4. 证明 设P∈Syl2(G)，Q∈Syl3(G). 由条件得n3( G)=4，所以令K=NG(Q)，则GcoreG(K)同构于S4的一个子群. 假设coreG(K)>1. 因为coreG(K)≤K，所以 综上，coreG(K)=1，故G≅S4. 引理6（文献［7］定理2.6.3） 设群G的阶为16，则G有以下14类. G交换，型不变量分别为(16)，(8,2)，(4,4)，(4,2,2)，(2，2，2，2)，标号记为（1）—（5）. G非交换 （6）G=a, b| a8=b2=1,ab=a3=SD16； （7）G=a, b| a8=b2=1,ba=b5； （8）G= D16； （9）G= Q16； （10）G=a, b, c| a4=b2=c2=[a, b]=[a, c]=1,[b, c]=a2； （11）G=D8×Z2； （12）G=Q8×Z2； （13）G=a, b, c| a4=b2=c2=[a, b]=[b, c]=1,[a, c]=b； （14）G是Z4与Z4的半直积. 证明 若G交换，则G为引理的(1)—(5). 下面讨论G非交换. 显然G中不能有16阶元，且也不能全是2阶元. 我们分两种情况讨论. 情形1 G中有8阶元a. 任取b∈G，b∉a. 因为a是G的极大正规子群，所以b2∈a. 令b2=as，ab=at，其中0≤s≤7, 1 若t=3，则3s≡s(mod8)，即s≡0(mod4). 所以s=0或4. 当s=0时，即对应于引理的(6)成立. 当s=4时，有b2=a4. 取b1=ba，则b12=baba=b2b−1aba=a8=1，即b1是2阶元，且b1∉a，ab1=ab=a3. 同样得到(6)成立. 若t=5，则5s≡s(mod8)，即s≡0(mod2)，s是偶数. 令s=2u，取b1=bau. 则b2b−1aubau=a2ua5uau=1，即b1是2阶元，且b1∉a，ab1=ab=a5. 得到引理的(7)成立（取b1的思想如下：因为G=a, b，a是G的指数为2的正规子群，所以不属于a的元素必有bai形式. 则(bai)2=baibai=b2b−1aibai=a2ua5iai=a2(u+3i). 取i=u，即有b1=bau是2阶元）. 若t=7，则s≡−s(mod8)，即s≡0(mod4). 所以s=0或4. 若s=0，则b2=1，ab=a−1，即引理的(8)成立. 若s=4，则b2=a4，ab=a−1，即引理的(9)成立. 情形2 G中没有8阶元. 假设Z( G)=Z2×Z2. 因为G′ 显然，引理的14种群是不同构的，引理证毕. 引理6是熟知的结果，但文献［7］的证明用到了极大类2-群的相关理论，我们的证明都是基本初等理论. 不超过50的整数分解有pa，paqb和pqr 3种类型. 由引理2和引理3知，阶为这3种类型的群都可解.我们的主要结论如下. 定理 设G是阶不超过50的有限群，且l( G)>2. 则l( G)=3且G=24或48，G为以下几类. 证明 因为l( G)>2，所以G不是p-群. 由引理3得，pqr阶群的Fitting长小于3. 所以G是paqb阶群. 由引理1和引理4得，p2q和p2q2阶群的Fitting长为1或2. 所以=24或48. 设P∈Syl2(G)，Q∈Syl3(G). 因为l( G)>2，所以P和Q都不是G的正规子群. 于是F1( G)=O2( G)>1，F2( G)=O2( G) Q .因为G F2( G)=PQ O2( G) Q 是2-群，所以F3( G)=PQ=G. 于是l( G)=3. 令H：=O2( G)，则=8，且HQ是G的指数为2的正规子群. 显然Q不正规于HQ. 由24阶群的分类知，HQ只有两种情况，即HQ=Z2×A4，或HQ为Z3与正规子群Q8的半直积，即HQ=SL(2,3). 对于HQ的两种情况，均有Z( HQ)=Z2，所以Z( HQ)≤Z( G). 情形1 HQ=Z2×A4. 此时P非交换，有极大子群Z2×Z2×Z2，且有正规2阶子群Z( HQ)使得P/ Z( HQ)≅D8. 由引理6知，P=D8×Z2或P为非亚循环的内交换群，即即引理6的（13）. 假设P=D8×Z2. 此时G有2阶中心直因子Z( HQ)，且G Z( HQ)≅S4，所以G=Z2×(D8Z3)=Z2×S4，即定理的（2.1）成立. 4从而成群，于是成群. 而是2-幂零的，所以a是Q的2阶自同构，于是，于是xa=x−1. 显然所以a可看作是b×c的2阶自同构，的3阶自同构. 构造如下： 情形2 HQ为Z3与正规子群Q8的半直积，即HQ=SL(2,3). 此时HQ的Sylow 2-子群Q8在G中正规，且有2阶正规子群Z( HQ)=Z( Q8)使得P Z( Q8)≅D8.由引理6知，含有子群Q8的16阶群为Q8×Z2，Q8∗Z4，SD16，Q16. 但Q8×Z2的8阶商群同构于Q8或Z2×Z2×Z2,Q8∗Z4的8阶商群同构于Z2×Z2×Z2，所以P只可能是SD16或Q16. 事实上，（2.1）—（2.4）这4种群的Fitting列形式上都是 它们的Fitting长都是3. 显然，（2.1）—（2.4）这4种群不同构，定理证毕. ［1］THOMAS M. The Fitting length of solvable HPπ-group［sJ］. Israel J math， 1985， 51（1-2）： 68-78. ［2］RECAN G， Güloĝluiş. On the Fitting length of generalized Hughes subgroups［ J］. Arch Math， 1990， 55：5-9. ［3］ SILVANA F， FRANCESCODE G， HERMANN H， et al. On the Fitting length of a soluble product of nilpotent groups［ J］. Arch Math， 1991， 57： 313-318. ［4］ GIORGIO B， ENRICO J. The Fitting length of finite soluble groups I Hall subgroups［ J］. Arch Math， 2016， 106（5）： 409-416.［5］徐明曜. 有限群初步［M］. 北京： 科学出版社，2014：198-203. ［6］ISAACS I M. Finite Group Theor［yM］. New York： Academic Press， 2008： 160-161. ［7］徐明曜，曲海鹏. 有限P-群［M］. 北京：北京大学出版社，2010：69-82. Abstract:Let be a finite group of order no more than 50 with Fitting length equal to 3. In this paper, is classified by isomorphism class. Key words:finite group; Fitting height; solvable group; order of group Small Groups with Fitting Length Equal to 3 TANG Feng O152.1 A 1008-2794（2017）04-00108-08 2016-10-19 国家自然科学基金“M-特征标及相关问题”（11471054）；江苏省自然科学基金“线性群的大轨道长度”（BK20161265） 唐锋，副教授，硕士，研究方向：有限群论，E-mail： tangfeng@cslg.edu.cn.2 主要引理
3 主要结论
(School of Mathematics and Statistics, Changshu Institute of Technology, Changshu 215500, China)
