运用“点圆”法求圆的方程

山西 李有贵

运用“点圆”法求圆的方程

在平面解析几何中，求解有关方程的问题时，往往要建立方程组，借助于解方程的方法进行求解，但由于未知数较多，从而容易造成“入手容易”“答对困难”的现象.其主要原因是未知数多，运算量大，这样不仅影响了解题速度，也极容易出错.因而，尽量减少运算量是快速、准确解答此类问题的关键.为此，本文将介绍运用“点圆”的思想巧求方程的方法，供同学们借鉴与参考，从而启迪思维，提高解题能力.

【例1】有一圆与直线4x-3y+6=0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程.

【解】将点A(3,6)表示成“点圆”形式：(x-3)2+(y-6)2=0，设所求圆的方程为(x-3)2+(y-6)2+λ(4x-3y+6)=0，将点B(5,2)代入上述圆方程得，λ=-1.

所以满足条件的圆方程为(x-3)2+(y-6)2-(4x-3y+6)=0

即x2+y2-10x-9y+39=0为所求的圆方程.

【评注】本例大家需要做好两个准备：

其一：所谓“点圆”，就是将平面上某一点看成是以此点为圆心，半径为0的圆，即约定点(a,b)的方程为(x-a)2+(y-b)2=0；

其二：过直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2-r2=0的公共点的圆系方程为

(x-a)2+(y-b)2-r2+λ(Ax+By+C)=0，

过两圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0与x2+y2+D2x+E2y+F2=0的公共点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0.

【例2】求经过点M(4,-1)，且与圆C:x2+y2+2x-6y+5=0相切于点N(1,2)的圆方程.

【解】将点N(1,2)表示成“点圆”形式，

即(x-1)2+(y-2)2=0，

设所求的圆方程为

(x-1)2+(y-2)2+λ(x2+y2+2x-6y+5)=0，

将点M(4,-1)代入上式得

18+36λ=0,

所以满足条件的圆方程为

即(x-3)2+(y-1)2=5为所求的圆方程.

【评注】切点看成点圆,这时所求圆就是过已知圆与点圆的公共点的圆,因而可以过两圆公共点的圆系方程求解.设出圆系方程,代入点M的坐标就可求出圆的方程.常规解法，求出线段MN的垂直平分线l1的方程，以及直线CN的方程，两直线l1,CN的交点即为圆心A，再求出AN的长度，得到圆的方程.

【例3】求与直线l1:4x-3y+25=0相切于点A(-4,3)，且半径为5的圆方程.

【解】将切点(-4,3)表示成“点圆”形式，

即(x+4)2+(y-3)2=0，

设所求的圆方程为

(x+4)2+(y-3)2+λ(4x-3y+25)=0，

因为此圆半径为5，

即λ=±2

故所求的圆方程为(x+8)2+(y-6)2=25或x2+y2=25.

【评注】切点看成点圆,这时所求圆就是过直线与点圆的公共点的圆,因而可以用过直线与圆公共点的圆系方程求解.设出圆系方程,将方程变成圆的标准形式，利用半径为5，求出λ的值，因而得到圆的方程.常规解法，求出以A为圆心5为半径的圆的方程与过A(-4,3)垂直于直线l1的直线l2的方程的交点，得到两个圆心坐标，写出圆的方程.

【例4】求圆心在直线l1:2x+y=0，且与直线l2:x+y=1相切于点A(2,-1)的圆的方程.

【解】将点(2,-1)表示成“点圆”形式，

即(x-2)2+(y+1)2=0.

设所求的圆方程为(x-2)2+(y+1)2+λ(x+y-1)=0，

因圆心在直线2x+y=0上，

即λ=2，

所以所求圆的方程为

(x-1)2+(y+2)2=4.

【评注】切点看成点圆,这时所求圆就是过直线与点圆的公共点的圆,因而可以用过直线与圆公共点的圆系方程求解.设出圆系方程,找到圆心坐标，代入圆心所在直线方程，求出λ的值，因而得到圆的方程.常规解法，先求出点A(2,-1)与直线l2垂直的直线l3的方程，再求出两直线l1,l3的交点，即为圆心M.最后求出MA的长度，得到圆的方程.

山西省临县第一中学)