添项构造法求递推数列的通项

陕西 侯有岐

(作者单位：陕西省汉中市四○五中学)

添项构造法求递推数列的通项

数列的递推公式是给出数列的一种重要方法.一般情况下，给出数列的递推公式，可以求出数列的通项公式，依据数列的通项公式可以进一步研究数列的其他性质.本文拟从下列几个方面例析添项构造数列求递推数列的通项公式的有关技巧.

一、an+1=f(an)型此类问题只需给递推式两边同加数λ即可

【例1】在数列{an}中，若a1=1,an=3an-1+2(n≥2,n∈N*)，求该数列的通项公式an.

【评注】已知an+1=f(an)型递推公式求数列通项问题，常常在递推式两边加数λ，构造数列{an+λ}，此时数列{an+λ}往往是以a1+λ为首项的等比数列，从而求出an.

【变式1】在数列{an}中，若a1=1,an+1=2an+3，求该数列的通项公式an.

【答案】an=2n+1-3.

二、an+1=pan+qan-1型此类问题只需给递推式两边同加λan即可

【例2】数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2，求数列{an}的通项公式.

【解析】递推式两边同时加λan+1，整理得

所以an+2-an+1=(an+1-an)+2，所以数列{an+1-an}是以a2-a1=1为首项，2为公差的等差数列，由此可得an+1-an=1+2(n-1)=2n-1，

所以a2-a1=1,a3-a2=3,…,an-an-1=2n-3，

将以上各式相加得an-a1=(n-1)2.

即an=n2-2n+2,

所以{an}的通项公式为an=n2-2n+2.

【评注】已知an+1=pan+qan-1型递推公式求数列通项问题，常常在递推式两边加λan，构造数列{an+λan-1}，此时令an+λan-1=bn，则问题转化为类型一：bn+1=f(bn)型求解.

【变式2】在数列{an}中，若a1=1,a2=5,an+1=5an-6an-1(n≥2),求该数列的通项公式an.

三、an+1=pan+f(n)型

已知an+1=pan+f(n)型递推公式求数列通项问题，(1)若f(n)=abn+c，则两边同时加上λ1bn+1+λ2(c=0取λ2=0)，构造等比数列{an+λ1bn+λ2}求解；(2)若f(n)=an2+bn+c，则两边同时加上λ3(n+1)2+λ4(n+1)+λ5.构造等比数列{an+λ3n2+λ4n+λ5}求解.

【例3】数列{an}满足a1为常数，an=3n-1-2an-1，求数列{an}的通项公式.

【例4】在数列{an}中，已知a1=1,an+1=3an+2n,求该数列的通项公式an.

【解析】递推式两边同时加λ1(n+1)+λ2,

四、an+1=pan+qan-1+f(n)型另外添加λan

【例5】数列{an}满足a1=0,a2=1,an=-an-1+2an-2+2n-2(n≥3)，求数列{an}的通项公式.

【解析】递推式两边同时加λan-1+λ1·2n-1，整理得

所以可得an=-2an-1+2n-1-1(n≥2),

再给上式两边同时加λ2·2n+λ3，

【评注】已知an+1=pan+qan-1+f(n)型递推公式求数列通项问题，与类型三类似，只要另外添加λan，构造等比数列，转化为类型三求解.

【变式3】在数列{an}中，已知a1=1,a2=3,an=an-1+2an-2+3n-2(n≥3),求该数列的通项公式an.

【解析】递推式两边同时加λan-1+λ1·3n-1，整理得

所以数列{an+an-1-3n-1}是以λ+1=2为公比，以a2+a1-3=1为首项的等比数列，由此可得an+an-1-3n-1=2n-2,即an=-an-1+3n-1+2n-2,

再给上式两边同时加λ2·3n+λ3·2n-1+λ4，

整理得an+λ2·3n+λ3·2n-1+λ4=-[an-1+(-3λ2-1)·3n-1+(-2λ3-1)·2n-2-λ4]，

令λ2=-3λ2-1,λ3=-2λ3-1,λ4=-λ4,

(作者单位：陕西省汉中市四○五中学)