在高中数学教学中培养学生逆向思维的策略

黄丽敏

【摘 要】本文結合高中数学的学科特点，论述在高中数学教学中培养学生逆向思维的三种策略：在概念教学中培养学生的逆向思维、逆用公式提高学生的数学解题能力、加强反证法的运用等，以优化教师高中数学教学工作，切实培养学生的数学素养。

【关键词】高中数学 逆向思维 数学能力

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2017）06B-0128-02

逆向思维是一种创造性的思维方式，它对数学学习有着非常重要的意义，它也是数学思维中非常关键的部分。逆向思维指的是对那些司空见惯的、似乎已成定论的事物或观点进行反向思考的一种思维方式。如果高中生能够在学习数学的过程中充分运用逆向思维解决数学问题，数学能力将得到显著提高。因此，教师十分有必要培养学生的逆向思维能力。

一、培养高中生逆向思维的意义

人的思维过程通常包括两大方向，其一为正向思维，其二为逆向思维。每一种思维模式都具有一定的逻辑性。其中正向思维通常是按照人们的想法习惯、惯性思路等去分析并解决问题，然而，习惯于运用正向思维去思考问题也容易使人的思维产生局限性，特别是在解决数学问题时，常常会有正向思维解决不了的，又或者是解题过程繁琐让人感到力不从心，由此可见，学生仅仅依靠正向思维来学习数学具有一定的局限性，不但降低了解题效率，而且也不利于学生数学能力的培养。逆向思维是将一些看似常规化的理论、结论等用非常规的思路去分析与解决问题，这种思维方式运用在学习数学上，不仅能突破思维惯性，还能拓展学生的思维空间。

在传统的教学课堂，教师更倾向于采用正向思维教学法，让学生通过正向思维来深入理解并分析问题，最终得出问题答案，然而，数学作为一项通用性科学，无论是理论学习还是生活实践，都不能单纯依靠正向思维，逆向思维也是必不可少的解题技能之一，学生只有具备了良好的逆向思维能力，并采用逆向思维方式来思考并解决问题，才能从根本上提高数学解题能力，提高自身的数学能力，也才能更好地适应数学学科的学习，体会到数学的乐趣。

以最基本的关于“1”的变形为例，当教师问学生，3-2 等于几，学生会觉得这太简单了，小学生都能回答，但是如果教师反过来问学生，1 等于什么，是不是只有 3-2 才能得到 1？让学生联系现阶段所学过的知识来思考，还有什么可以等于 1，答案会有很多种，如，1=a0（a≠0），1=sin2α+cos2α……学生的思维因此而活跃起来，这就是逆向思维对学生数学能力拓展的最好证明。

二、培养学生逆向思维的策略

（一）在概念教学中培养学生的逆向思维。任何一个数学知识模块的学习都是从最基本的概念、性质等入手，概念作为一种理论总结，是先人经过长时间的学习、实践逐渐总结出的，用来映射客观规律的理论性概述。数学概念揭示了某种数学逻辑、数量关系、逻辑关系，是学生认识客观事物的基础，传统的概念教学过于死板老套，教师直接进行概念陈述，或者将概念直接呈现在黑板上，要求学生机械地记忆，这样的教学模式与方式不利于学生思维能力的培养，淡化了思维能力教育。对此，教师必须转变思路，培养学生从逆向角度来思考问题，通过逆向思维来挖掘概念中的潜在规律、隐形性质等，让学生更加深刻、深入地掌握概念。

如在学习“映射”的概念时，教师可以引导学生做这样的思考：设 f：A→B 是集合 A 到集合 B 的映射，那么集合 A、B 中的元素对应情况是怎样的呢？通过教师的引导，学生可以得出结论：集合 A 中的元素在集合 B 中都有唯一的一个象，因此集合 A 中不会有剩余，但是集合 B 中的元素可能有剩余，也就是说B中的元素有的可能没有原象；因此对应的形式可能会有“一对一”，也可能会有“多对一”，但是“一对多”的情况是不可能的。通过逆向思维，学生很快就掌握了“映射”的概念，这比死记概念要更容易被学生“消化”。

又如学习“等比数列”的概念时，教师可以这样来引导学生思考：如果一个数列是等比数列，根据等比数列的定义，可知这个等比数列的首项及其后项都不可能是 0。再比如，平面几何中直线与直线垂直的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。明白这个定义后，教师可以启发学生从不同角度理解这个定义，并考虑这个定义在什么情况下应用，怎样应用。让学生明确它既可以作为直线与直线垂直的判定，也可以作为直线与直线垂直的性质。这样一来，学生对概念辨析更清楚，理解也更透彻。

（二）逆用公式提高解题能力。逆向思维能力实质上也是一种发散思维能力，逆用公式对学生逆向思维的培养有很大的帮助，通过对公式反复变形的方式来解题，从而培养学生的逆向思维能力。

在整个的高中数学体系中，“三角函数”是一个非常重要的知识模块，其中三角恒等变形是学生学习的重点也是难点，其中可能涉及多种解题方法、多种解答方式，教师可以利用这一知识模块来对学生进行逆向思维训练，让学生逆用公式，反复变形公式，以此来培养学生的数学思维能力。

例如：假设， 那么sin4θ+cos4θ 的值是多少？

笔者要求学生提供两种解题方法，学生开始回顾所学的三角函数关系式、公式并结合所提供的题目等来探究如何多方法解题。思考过后，学生提供以下两种解题方法：

方法一：根据提问所求sin4θ+cos4θ 的值，将sin4θ+cos4θ 进行变式，得到（sin2θ+cos2θ）2-2sin2θcos2θ=1-2sin2θcos2θ=1-（sin22θ）。又因为已知，所以：。这是运用正向思维思考后的解法，也是学生较为常用的解法。

方法二：已知二倍角公式：sin2θ=2sinθcosθ=，得出，所以，sin2θcos2θ=，又因为：sin4θ+cos4θ=（sin2θ+cos2θ）2-2sin2θcos2θ，所以。方法二首先考虑的不是直接将问题所求的式子变式，而是先观察已知的二倍角公式，通过对二倍角公式进行化简，得到关键的部分 sin2θcos2θ=，再将所求的式子进行变式，最后代入相关数值即可。方法二其实就是对公式（a+b）2=a2+2ab+b2 的逆用，只有对公式（a+b）2=a2+2ab+b2 的变形熟记于心，才能快速解决这道题。

又如在等差數列教学中，已知前 n 项和公式为：，那么教师可以引导学生根据此结论推导出与之相关联的其他规律或结论。一些学生灵活巧妙地变形公式：由此可见，Sn 可以看成是一个关于自变量 n 的二次函数，其中常数项是 0，所以，Sn 也能够通过待定系数法来计算，只需要先算出和 的值即可。未来在做题目时，再碰到等差数列的问题时，就可以通过推导出来的规律和结论来逆用公式。

学生经过反复变形、推导，最终得出了一系列结论，这些结论都可以作为学生未来数学学习的参考和参照，在这一过程中学生的思维能力得到了深入培养，也能产生更大的学习兴趣，学生只有具备了兴趣和能力，才能在数学学习的道路上越走越远，学生也只有具备了一定的思维能力，才能真正领悟到数学的神奇，逆向思维能力的培养必然要在数学教学中占据一席之地。

（三）加强反证法的运用。反证法是通过推证“结论的反面是错误的”引出矛盾，从而肯定“结论本身是正确的”。反证法的特点是先提出与待证的结论相反的假设，然后推导与公理、定义、已证的定理或题设相矛盾的结果。这样，就证明了与待证的结论相反的假设不成立，从而肯定了原来求证的结论成立。由此可见，反证法是逆向思维的重要方法。在教学中教师应有意识地选编一些应用反证法思考的问题，把它渗透到数学教学中去，对培养学生的逆向思维很有必要。

例如：假设：m3+n3=2，证明：m+n≤2。

这道题如果通过正向思考来解决，必须先想方设法把m3+n3 化简为含有 m+n 的形式，这个过程比较复杂，但是通过反证法或许就能快速证明。如证明在同等条件下，m+n≤2的反面 m+n>2不成立，那么 m+n≤2 就是成立的。因此教师可以引导学生猜想，如果 m+n>2，那么 m>2-n，所以，m3>8-12n+6n2-n3，那么 m3+n3>6n2-12n+8=6（n-1）2+2，因为 6（n-1）2+2≥2， 所以 m3+n3>2，这就与题目中的已知条件不符，所以 m+n≤2 成立。

在实际的数学教学过程中，教师还需注重对学生举一反三能力的培养，注重学生思维能力、灵活思考问题能力的培养，以此来达到高效教学的目标。

高中数学学习具有一定的难度性和挑战性，是对学生思维能力、逻辑能力的综合考验，教师必须意识到高中阶段学生思维能力培养的重要性，要积极加强对学生的引导，培养学生的逆向思维能力，让学生具备一定的数学思考能力，这样才能使学生在平时的学习与解题过程中掌握技巧，提高学习效率。

【参考文献】

[1]李秋香.以分层教学为主导的高中数学教学模式探究[J].读与写（教育教学刊），2016（12）

[2]金远方.突破思维瓶颈优化高中数学教学策略初探[J].读与写（教育教学刊），2016（12）

[3]王建辉.浅议高中生数学逆向思维能力的培养[J].新课程学习（学术教育），2010（6）

（责编 韦 力）