在高中数学教学中渗透数形结合思想的探讨

蒋秋樱　赵继源　潘裕梅

【摘 要】本文通过分析有关数形结合思想的典型例子，详细地讲解以形助数、以数解形、数形互助的方法，以培养学生的数形结合思想，更好地学好数学。

【关键词】高中数学 数形结合思想 以形助数 以数解形 数形互助

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2017）06B-0085-03

新课标指出：“数学教育要使学生掌握数学的基础知识、基本技能和基本思想，让学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界。”从古至今，不同的专家学者对于数形结合思想有不同的理解。本文认为数形结合思想是把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题的指导思想。运用数形结合这一指导思想解决数学问题的基本途径有三种，分别是以形助数、以数解形、数形互助。可见，数形结合思想是帮助学生解决数学问题的一种重要思想。然而，由于中学教材中没有明确给出数形结合思想的定义，教师对于如何渗透，渗透到什么程度比较模糊，所以，学生在运用数形结合思想时，会出现画图不准确，在数形转化的过程中出现不等价、逻辑循环错误等问题。因此，本文通过分析数形结合思想中以形助数、以数解形和数形互助的例子，并给出一些教学策略，希望对教师教学有所启发。

一、数形结合思想的例子分析

（一）以形助数

以形助数是数形结合思想中一种常用的方式，它的特点是根据已知量的关系，将代数式子转化成相应的图形，再借助图形的直观性，去解决代数问题。

〖例1〗求证：

其中 a 与 c，b 与 d 不同时相等。

〖分析〗该题让我们证明的是一个含有 4 个字母的抽象代数不等式，直接去证明也是可以的，但是，过程比较复杂，需要进行大量的复杂的运算、观察和转化，花的时间会比较长，容易出错。可是，如果从数形结合的角度思考，将这道题目的代数式转化成几何图形，那么就会简单得多。

该题目的结构特点与两点之间的距离公式非常相似，所以可以将其放在平面直角坐标系中分析，借助直观图形寻找不等关系。不妨设 O（0，0），A（a，b），B（c，d），則，，，如图 1 所示，此时，借助图形分三种情况进行分析即可。

情况一：当 O、A、B 三点不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，得；

情况二：当 O、A、B 三点共线时，点 A 和点 B 在点 O 异侧或者与点O重合，则；

情况三，当 O、A、B 三点共线，点 A 和点 B 在点 O 同侧时，则。

图1 图2

〖例2〗设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1<0，S2009=0，求当 时，n 的取值的集合。

〖分析〗此题的已知条件比较有限，如果将 an 和 Sn 用公式展开，涉及的未知数比较多，直接用代数法去求解十分复杂。但是，我们知道等差数列也是函数中比较特殊的一种，所以我们可以考虑用数形结合思想，借助函数图象来直观得出n的取值的集合。我们知道，等差数列的通项公式可以看成正整数集上的一次函数，它的求和公式可以看成是正整数集上、常数项为 0 的二次函数，基于这个特点，我们可以将这个代数问题转化成几何问题，借助图象分析。

已知条件 a1<0，S2009=0，所以可以推断 d>0；根据等差数列的公式可以推断一次函数的图象经过第一、三象限，与 y 轴交于负半轴；根据等差数列前 n 项和公式可以推出二次函数开口向上。进一步分析，可以知道 a1=S1，a2010=S2010，并且 S2010>0，即可画出大致图象。为了画图方便，我们是画成连续的图象，如图 2 所示，但是，值得注意的是，这个函数的图象实际上是由一些离散的点构成的。当 时，n 的取值的集合为 。

（二）以数解形

以数解形也是数形结合思想中的一种重要方式，它的特点是利用代数方法来解决几何问题，通常运用的方法是坐标法、向量法等，借助代数法来帮助我们挖掘隐含的几何信息，从而更容易地解决几何问题。

〖例3〗（2008年江苏）在三角形 ABC 中，AB=2，AC= ，求出三角形 ABC 面积的最大值。

〖分析〗此题如果仅仅从几何角度去分析，构造辅助线，是很难求出三角形 ABC 面积的最大值的。涉及最大值和最小值的问题，可以从代数的角度来辅助分析。此题已知条件的特点是知道了某些线段的长度以及线段之间的关系，所以，在这里可以考虑建立平面直角坐标系，借助坐标法分析。

可以建立如图 3 所示的坐标系，设 C（x，y），A（-1，0），B（1，0），又 AC=，得，整理得（x-3）2+y2=8，即点 C 在圆上运动，所以，当△ABC 以 AB 为底边，以圆的半径为高时，面积最大，。此题的关键是借助坐标法分析以后，得出了点 C 的运动轨迹是圆，根据圆的特征就容易得到三角形面积的最大值了。

图3 图4

〖例4〗（2016 年大连）设 O 在△ABC 的内部，且，则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为（ ）

A.3 B. C.2 D.

〖分析〗这道题要想求出三角形的面积比，必须知道三角形各线段之间的比例关系，但是，已知条件只是给出了向量之间的关系，这就需要我们借助向量法，通过一定的转化，将代数条件转化成需要的几何条件，从而找出线段之间的比例关系，如图 4 所示。

设 AC 和 BC 的中点分别为 M 和 N，将整理得即，所以，，这说明 M、O、N三点共线，2ON=OM，因此，，所以 。

（三）数形互助

数形互助的特点是把代数的精确性和几何的直观性有机地结合起来，实现由“数”到“形”和由“形”到“数”的相互转化。

〖例5〗（2013 天津）设函数 f（x）=ex+x-2，g（x）=lnx+x2-3，若实数 a，b 满足 f（a）=0，g（b）=0，则（ ）

A.g（a）<0

C.0

〖分析〗题目要求比较的是有关 a 和 b 的函数值的大小，观察已知条件，我们发现很难直接通过代数求解，将 a 和 b 直接求出来，所以借助函数图象来比较实数 a 和 b 的大小关系是最简单明了和直观的，这就需要以形助数。

已知条件 f（x）=ex+x-2，g（x）=lnx+x2-3， f（a）=0，g（b）=0，所以 y1=ex 和 y2=-x+2 的交点横坐标为 a，y3=lnx 和 y4=-x2+3 的交点横坐标为 b，如图 5 所示，易知，a

图5

二、数形结合思想的教学策略

（一）教师应结合直观图形帮助学生理解新知

教师在给学生讲解新的概念、性质定理、公式时，不是简单地把知识硬塞给学生，而是借助简洁、直观的图象、图形来帮助学生理解抽象的数学知识，帮助学生更好地吸收、领悟数学知识和数学思想。

在给学生讲解增函数与减函数的定义时，教师可以从学生熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数入手，通过学生熟悉和直观的图象来引导学生抓住概念的关键点，从而较容易地理解概念本质。另外，教师给学生讲解正弦函数与余弦函数的性质时，教师一定要结合正弦图象和余弦图象让学生观察学习，对比分析，引导学生借助图象归纳出正弦函数和余弦函数的增区间和减区间，对称轴等性质，理解记忆性质。教师要教会学生借助图象进行分析、记忆的方法，就算在学生记忆出错或者模糊的情况下，也能自己画图分析，得出相应的性质。此外，教师在给学生介绍基本不等式时，不仅要从代数的角度来让学生认识基本不等式，还要让学生了解基本不等式的几何背景，学生只有从几何和代数两方面来认识基本不等式，才能对基本不等式有一个全面的理解。因此，在教学中，教师要善于借助直观形象的图形来帮助学生更容易地理解和记忆新知，把握知识的本质，逐步对数形结合思想有一个更深刻的理解。

（二）教师应帮助学生总结常见的式与形之间互化的典型例子

常见的式与形之间相互转化的例子有很多，比较典型的是例子有：的几何意义表示的是某个点 P（x0，y0）到某条直线 Ax+By+C=0 的距离；的几何意义表示的是 A（x1，y1）和 B（x2，y2）两点之间的距离；的几何意义表示的是两点 A（x1，y1）和 B（x2，y2）之间的斜率。教师不仅要在新课中告诉学生这些公式的几何意义，还要借助一些典型的题目，如 的最大值、最小值，的最小值等，引导学生感悟数形结合思想，通过不断地进行针对性的训练和总结，来进一步提高学生的数形结合能力。

（三）教师应精选习题，借助反思以增强学生数形结合的能力

教师在教学中要有意识地借助习题课来增强学生的数形结合能力。为了渗透数形结合思想，教师要认真挑选和编制典型的题目，先让学生去独立思考，寻求答案，目的是让学生犯错，学生通过尝试，出错以后，再引导学生反思总结，最后通过变式训练进一步深化和提高。

为了培养学生思维的严密性，教师可以给学生做一些易错题。比如，求方程x2-2x=0 的解的个数。在这道题当中，学生或许会利用数形结合思想，通过画草图求出方程的解是两个，但是，此题的正确答案是三个，当 x<0 时，有一个解；当 x>0 时，有两个解。在学生出现错误时，教师可以引导学生进行反思总结，遇到这类交点个数的问题时，一定要小心谨慎，注意图象的完整性。再比如，已知 a，b，m 为正实数，且 a

总之，对于高中生而言，掌握数形结合思想是十分必要的，它对于提高学生的数学思维能力具有极其重要的作用。因此，教师需要用心挖掘，在教学中反复渗透。

【参考文献】

[1]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2007

[2]教育部.普通高中数学课程标准（实验稿）[S].北京：人民教育出版社，2003

[3]刘红艳.高中生运用数形结合思想解题的调查研究 [D].南京：南京师范大学，2014

[4]刘会灵.数形结合思想在中学数学教学中的应用[D].开封：河南大学，2014

[5]胡玉静.数形结合思想在高中数学教学中的应用与分析[D].信阳：信阳师范学院，2015

【作者简介】蒋秋樱（1994— ），女，广西南宁人，广西师范学院，硕士，研究方向：学科教学（数学）；赵继源，男，广西南宁人，广西师范学院，教授，博士，研究生导师，研究方向：学科数学；潘裕梅，女，广西钦州人，广西师范学院，硕士，研究方向：学科教学（数学）。

（责编 卢建龙）