刚体转动惯量和截面的惯性矩

梁拥成+刘小妹

摘 要：通过对理论力学中刚体对轴的转动惯量和材料力学中截面对轴的惯性矩的比较，把理论力学和材料力学中相关的内容有机结合，不仅巩固已学知识，也让新的知识变得简单易懂。在教学过程中，启发学生自主学习，寻找规律，总结相似点，提高学生的学习主动性和积极性，取得了良好的教学效果。

关键词：理论力学；转动惯量；材料力学；惯性矩

中图分类号：th113 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2017）13-0215-01

力学是工科专业一门难度较大的学科，在我校的教學培养计划中，一般是上半学期的理论力学和下半学期的材料力学，这两门课之间存在内在联系，不仅仅停留在理论力学中的静力学部分是材料力学的基础，在教学过程中，作者还发现了一些参数之间的关系，如果不加以比较说明，会让同学觉得知识凌乱。本文通过比较对理论力学中刚体对轴的转动惯量和材料力学中截面对轴的惯性矩，让学生做到知识的融会贯通，不仅能更加牢固掌握这些基本参数，而且使新知识变得简单易懂。

1 刚体的转动惯量

1.1 定义

刚体的转动惯量是工程力学中一个重要知识，是刚体转动惯性的度量，表现了刚体转动状态改变的难易程度。计算刚体及系统对固定轴的动量矩或是计算动能时，都必须要求对轴的转动惯量。对轴的转动惯量的定义为

（1）

若刚体的质量是连续分布，则： （2）

1.2 平行移轴定理

同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的，当转轴与通过刚体质心的轴相互平行时，对该轴的转动惯量等于刚体对通过质心轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。

（3）

1.3 组合法

当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分（物体）的转动惯量，然后再加起来就是整个物体的转动惯量。若物体有空心部分，要把此部分的转动惯量视为负值来处理。

例如：如图1所示。钟摆：均质直杆m1，l；均质圆盘：m2，R。求整个钟摆对O轴的转动惯量。

解：

1.4 回转半径

定义，则刚体对z轴的回转半径为： （4）

2 截面的惯性矩

2.1 定义

在推导弯曲正应力公式时定义了： （5）

式中，即为截面对中性轴z轴的惯性矩，从定义可以看出惯性矩是反映梁的截面尺寸和形状抵抗弯曲变形能力的一个物理量。

2.2 平行移轴定理

当坐标轴不过截面的形心，但和形心轴平行时，截面图形对该轴的惯性矩与对形心轴的惯性矩有比较简单的关系，即惯性矩平行移轴定理： （6）

2.3 组合法

组合截面对于坐标轴的惯性矩等于各部分对于该轴惯性矩之和。例如：空心圆对过圆心的轴的惯性矩可以看作大圆的的惯性矩减去小圆的惯性矩。

2.4 惯性半径

定义，则惯性半径为： （7）

通过以上四个方面对较刚体对轴的转动惯量和截面对轴的惯性矩进行了比较和类比，不难发现转动惯量和惯性矩有很多类似的地方，首先这两个参数都是是对轴而言，都可以用平行移轴定理和组合法，都有一个相对应的定义半径。不同的是定义，刚体的转动惯量应用的是刚体的质量乘以到轴的距离的平方，而截面的惯性矩是应用的截面的面积乘以到轴的距离的平方，所以只需要把质量换成面积就可以轻松地学习材料力学的惯性矩。

3 结语

在力学教学过程中，把理论力学和材料力学中相关的内容有机结合，从四个方面对理论力学中刚体对轴的转动惯量和材料力学中截面对轴的惯性矩进行了比较，寻找了它们之间的内在联系和相似点，给学生提供了许多独立思考的机会，激发学生的学习积极性，达到了事半功倍的效果。

参考文献

[1]刘鸿文.材料力学[M].（第4版）.北京：高等教育出版社，2004.

[2]李培超，范志毅，刘小妹.简明工程力学[M].（第2版）.北京：清华大学出版社，2016.