如何在几何复习课中提高学生的数学能力

孔祥泉

人们把数学看成是思维的体操。几何数学能力是指通过数学思维锻炼具有的探索和创新能力、抽象逻辑思维能力、发散思维能力、直觉思维能力、应用能力等。复习课是学生在已初步掌握了相应知识后的再学习，因此在复习教学中，除应对所学知识的重点知识进行必要的讲解形成知识链外，更重要的是做到以下两个方面：第一方面总结归纳，即对所学知识作总结、引申和拓展，以使学生加深了解它的内在联系和内部规律，理解、领悟到更深层次的数学思想方法；第二方面能力运用，用所学知识解答各种相关的几何问题，以不断增强学生的思维能力和综合素质的培养。下面我们给出“梯形面积公式”复习课的一个设计方案，

一、熟能生巧——拼补法

首先，向学生提出如下两个问题；

1.三角形和梯形的面积公式是怎样推导出来的？（学生回答后出示图一、图二）

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图一 图二

2.上述两个推导方法有何共同特点？

它们都是将其拼补成平行四边形（此时面积扩大了一倍），而平行四边形面积的求法是已知的，于是原图形的面积也就求出来，我们这种方法叫做“拼补法”。

二、逆向思考——分割法

1.在运用拼补法求图形的面积时，如果把拼补后的图形（平行四边形），视作整体拼补前的图形（如梯形）便是“局部”因此拼补法的思路是：局部→整体→局部。

2.现在换个角度思考：我们能否运用分割的方法，把梯形转化成三角形或平行四边形。从而求得它的面积呢？在教师的启发下，学生不难得出如图三、图四、图五所示的三种方法。

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图三 图四 图五

这些方法统称为“分割法”

分割法与拼补法的思路正好相反，這里我们把梯形视作“整体”，则三角形或平行四边形就是“局部”，可见分割法的思路是：整体→局部→整体。

三、拓展思维——图形转化法的应用

学生掌握了上述基本思想方法后，给出如下一道例题，让师生共同讨论当堂解答。

例1.如图六，在梯形EFGH中，EF∥GH，GP是∠FGH的角平分线，且GP⊥EH，HP=2PE，又设GP把梯形分成面积为S1和S2的两部分，求S1∶S2的值

分析：欲求S1∶S2的值，相当于已知△GHP的面积为S1时，求四边形EFGP的面积S2，而四边形EFGH不是我们所熟知的特殊四边形，因此可用图形转化法将其转化为易计算面积的图形，这就有了如下解法。

解：延长GF、HE，交于点Q，并设S△QFE的面积为S3因为GP平分∠FGH，GP⊥HE，所以△GHQ为等腰三角形，由此易知S1=S2+S3，QH∶QE=4又∵EF∥GH∴△QEF∽△QGH∴S△QGH：S△QEF=QH2即2S1∶（S1-S2）=16，8S2=7S1，S2∶S1=7∶8

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图六 图七

说明：在作出△QGH后，运用左平行线的方法，将△GPQ分成8个等积的小三角形，也可求得值。

四、能力提升——发展智力空间

完成上述教学过程后，要结合本节课的教学内容与过程，给学生布置一些课后练习题；还可以为部分成绩较好的学生布置少量难度较大的思考题，以通过他们来带动全班学生积极思考，共同提高学生创造性思维的能力。下面便是一道不错的思考题。

例2.如下图，正方形EFGH的面积为1，M是边AD上的中点，求图中阴影部分的面积。

分析易见，两个阴影部分的面积△EPH和△MPG的面积是相等的，故只要求出S△EHP即可。为此，可将△GFM割下，拼在四边形GMGH的下方（如图，FM与EM重合，点G的新位置P1），易知H、E、P1和G、M、P1分别在一直线上，连接PP1。

（1）■易求；

（2）S△EPH=■=■

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于是S△EPH可求，步骤略。