几种实正规矩阵的性质

张建刚，申 冉

1.上海师范大学数学系，上海，200234;2.东华大学理学院，上海，201620



几种实正规矩阵的性质

张建刚1，申 冉2

1.上海师范大学数学系，上海，200234;2.东华大学理学院，上海，201620

有针对性地研究了几种实正规矩阵的部分性质，特别是针对特征值和对角化等方面，得到它们的联系和区别之处。给出了实正规矩阵(正交矩阵)是实对称阵(正定矩阵)的充要条件，同时研究了可逆矩阵关于实正规矩阵的分解性质。

正规矩阵；正交矩阵；对称矩阵;正定矩阵

1 问题提出

正规矩阵是矩阵理论的主要研究对象之一。 正交矩阵、实对称(反对称)矩阵以及正定矩阵都是实的正规矩阵。本文通过有针对性地研究这几类实的正规矩阵的部分性质，特别是针对特征值和对角化等方面，得到它们的联系和区别之处。

如无特别说明，本文所讨论的矩阵都是实数域上的矩阵。实数域上所有n阶方阵的集合记作Mn(R)，对任意的A∈Mn(R)，AT表示转置矩阵，A*表示伴随矩阵，A-1表示逆矩阵(如果存在)，En表示n阶单位阵。

文中所涉及到的其他术语，参见文献[1]。

2 几种正规矩阵的性质比较

定义2.1如果A∈Mn(R)，满足AAT=ATA=En，即AT=A-1，则称A为正交矩阵[1]298-343。

正交矩阵具有以下性质：

(1)正交矩阵的乘积和正交矩阵的逆矩阵都是正交矩阵。两个正交矩阵的和未必正交，如令A=E2,B=-E2，则有A+B不是正交矩阵。

(2)正交矩阵的特征值的模等于1，其实的特征值只能为1或-1。

(3)上(下)三角正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上的元素只能为1或-1。

定义2.2设A∈Mn(R)且A可逆，则A可以分解为A=QR，其中，Q为正交矩阵，R是一个对角线上全为正数的上三角矩阵，并且这种分解形式是唯一的(上述分解称为正交三角分解)。

上述分解形式，在研究可逆矩阵的性质时是非常有帮助的。

定义2.3如果A∈Mn(R)，且满足A=AT，即对任意的i=1,2,…,n;j=1,2,…n，都有aij=aji，则称A为对称矩阵[1]298-343。

对称矩阵的性质：

(1)两个对称矩阵的和还是对称矩阵。两个对称矩阵A,B的乘积AB仍是对称矩阵的充要条件是AB=BA。

(2)实对称矩阵的特征值都是实数，且属于不同特征值的特征向量正交。

(3)若A∈Mn(R)为对称阵，则存在正交阵Q，使得QTAQ为对角矩阵，且对角线上元素为A的全部特征值(称为实对称阵的正交对角化)。

由正交阵的定义可知，n阶实矩阵A是正交阵当且仅当AAT=En。对于对称阵，有下面的结论。

命题2.4设A∈Mn(R)，则A是对称阵当且仅当AAT=A2。

证明必要性是显然的。下证充分性，首先注意到下面的事实，若B∈Mn(R)，则：

B=0⟺BBT=0⟺tr(BBT)=0

另一方面，由条件AAT=A2，有：

tr((A-AT)(A-AT)T)

=tr((A-AT)(AT-A))

=tr(ATA-(AT)2)

=tr(AT(A-AT))

=tr((A-AT)AT)

=tr(AAT-(A2)T)

=tr(AAT)-tr(A2)=0

因此，A-AT=0，即A=AT，A是对称阵。

由上述命题，容易得到下面正交矩阵和对称矩阵之间的关系。

命题2.5设A∈Mn(R)，则下列三个条件中任意两个成立，则另一个也成立。

(1)A是一个对称矩阵。

(2)A是一个正交矩阵。

(3)A2=En(以下称满足此条件的矩阵为对合阵)。

例子2.6设A∈Mn(R),且A是对称矩阵， 若A也是对合阵。证明存在正交矩阵Q，使得：

证明由对称矩阵的性质(3)，存在正交阵Q，使得QTAQ为对角矩阵，且对角线上元素为A的全部特征值。另一方面，设A的特征值为λ，对应的特征向量为α，则有Aα=λα。结合条件A2=En，容易看到λ2=1，从而A的特征值为1或者-1，所以结论成立。

矩阵A∈Mn(R)可以对角化，当且仅当A的特征值都是实数，且A的所有特征值对应的特征子空间的维数之和等于n。而正交阵的特征值不一定是实数，所以不是所有的正交矩阵都能对角化。但有下面的结论：

命题2.7设A∈Mn(R)，且A为正交矩阵，则A的特征值都是实数，当且仅当A是对称阵。

由上述结论可知，一般的正交阵未必可以对角化，但如果特征值都是实数，则可以实现对角化。

推论2.8设A∈Mn(R)，且A为正交矩阵，若A的特征值都是实数，则：

(2)rank(A+En)+rank(A-En)=n。

(2)若A的特征值为1，则由(1)可知，A=En。同理，若A的特征值为-1，A=-En。若1,-1都是A的特征值，由于A可以对角化，故dimV1+dimV-1=n，其中V1,V-1分别是1,-1对应的特征子空间。又因为

dimV1=n-rank(En-A)

=n-rank(A-En)

dimV-1=n-rank(-En-A)

=n-rank(A+En)

故得证。

由命题2.5和2.7容易得到下面的结论。

推论2.9设A∈Mn(R)，且A为正交矩阵，则下列命题等价：

(1)A的特征值都是实数。

(2)A是对称阵。

(3)A为对合阵。

定义2.10设A∈Mn(R)，且A=AT，如果二次型XTAX是正定的，其中X为n维列向量，则称A为正定矩阵。

正定矩阵的基本性质：

(1)设A,B∈Mn(R)，m∈Z，k是正实数，若A,B都正定，则A-1，A*，Am，A+B，kA都正定。

(2)实对称阵A是正定矩阵，当且仅当A的特征值都大于零。

(3)实矩阵A是正定矩阵，当且仅当A合同于单位矩阵(即存在实可逆阵C，满足A=CTC)；当且仅当A正交相似于一个对角阵，且对角线上为其全部(正的)特征值。

命题2.11实(对称)矩阵A是正定矩阵当且仅当存在可逆上三角矩阵R，满足A=RTR。

证明充分性由正定矩阵的基本性质(3)易得，下证必要性。由正定矩阵的基本性质(3)，存在可逆阵C， 使得A=CTC；另一方面，由引理2.2，C可以分解为C=QR，其中Q为正交矩阵，R是一个对角线上全为正数的上三角矩阵，则A=(QR)TQR=RTQTQR=RTR。

命题2.12正交矩阵A是正定矩阵，当且仅当A是单位阵。

证明充分性是显然的，下证必要性。若正交矩阵A是正定矩阵，则A必为实对称阵，由命题2.5和例子2.6的证明可知，A的特征值只能为1或者-1。又因为正定矩阵的特征值都大于0，故A的特征值只能为1，由正定矩阵的基本性质(3)易得，A正交相似于单位阵，所以A是单位阵。

关于正定矩阵乘积的正定性，有着类似于实对称矩阵乘积的对称性的结论。

命题2.13两个正定矩阵A,B的乘积是正定矩阵的充要条件AB=BA。特别的，正定矩阵的方幂是正定的。

证明必要性为显然。这是因为正定阵一定是对称阵，所以如果A,B的乘积是正定矩阵，则AB必为对称阵，由对称阵的基本性质(1)，AB=BA。

下证充分性。首先由对称阵的基本性质，若AB=BA，则AB是对称阵。因为A,B都是正定矩阵，由正定矩阵的基本性质(3)，分别存在实的可逆阵P,Q，使得A=PTP,B=QTQ，则AB=PTPQTQ。进一步，容易看到：

QABQ-1=QPTPQTQQ-1

=QPTPQT=(PQT)TPQT

由正定阵的基本性质，(PQT)TPQT是一个正定阵，所以上式说明AB与一个正定矩阵相似，故AB的特征值都是正数，所以AB也是正定阵。

命题2.14设A是实对称矩阵，则A正定，当且仅当存在唯一的正定矩阵B，满足A=B2。

证明充分性由命题2.13为显然，下面证明必要性。由正定矩阵的正交相似性，存在正交阵U，使得：

UTAU=diag(λ1,λ2,…,λn)

即B=C。

推论2.15设A∈Mn(R)且A可逆，则A可以分解为一个正交阵和一个正定阵之积，也可以分解为一个正定阵与一个正交阵之积。特别地，若A正交，则分解形式唯一。

A=(AT)-1B2=(AT)-1BB

分别记(AT)-1B=P,B1(AT)-1=Q，则A=PB,A=B1Q，下证P,Q分别为正交矩阵。事实上：

PPT=(AT)-1B(AT)-1(B)T

=(AT)-1BBTA-1=(AT)-1B2A-1

=(AT)-1ATAA-1=En

QTQ=(B1(AT)-1)TB1(AT)-1

=A-1AAT(AT)-1=En

故结论成立。特别地，若A正交，设A=PB，其中P是正交阵，B是正定阵，则有P-1A=B。由于P-1A正交而B正定，由命题2.12，B=En。类似的可以证明另一种分解形式也是唯一的。

定义2.16如果A∈Mn(R)，满足AAT=ATA，则称A为(实)正规矩阵。

不难看到，上述所讨论的正交矩阵，对称(反对称)矩阵和正定矩阵都是正规矩阵。

正规矩阵的基本性质：

(1)设A∈Mn(R)是正规矩阵，m∈N，k是任意实数，则AT，Am，kA均是正规矩阵，且A可逆时，A-1,A*也都是正规矩阵。

(2)设A∈Mn(R)是正规矩阵，若A是上三角阵，则A必为对角矩阵。

命题2.17设A∈Mn(R)，且A是正规矩阵，则A的特征值都是实数，当且仅当A是对称阵。特别地，若特征值都是正实数，当且仅当A是正定矩阵。

证明充分性是显然的，只需证明必要性。下面利用数学归纳法加以证明。首先，当n=1时，结论显然成立。假设结论对n-1阶矩阵成立，即对任意n-1阶的实正规阵，如果特征值都是实数，则它是对称阵。下面考虑阶数为n的情形。

其中，α是n-1维实的行向量，B是一个n-1阶实矩阵。记UTAU=C，则CCT=CTC。事实上，因为AAT=ATA，CCT=(UTAU)(UTATU)=UTAATU=UTATAU=(UTATU)(UTAU)=CTC，即有：

特别地，由正定矩阵的基本性质，若A的特征值都是正实数，当且仅当它是正定矩阵。

推论2.18设A∈Mn(R)，且A为正规矩阵，若A的特征值都是实数，则A可以相似对角化。

[1]张禾瑞，郝炳新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2007

[2]杨子胥.高等代数习题集：上[M].济南：山东科学技术出版社，2000:542-562

[3]杨子胥.高等代数习题集：下[M].济南：山东科学技术出版社，2001:390-451

[4]陈祥恩，程辉，乔虎生，等.高等代数专题选讲[M].北京：中国科学技术出版社，2013：182-201

[5]张建刚，申冉.线性流形的性质[J].大学数学，2015，31(4):90-94

(责任编辑：汪材印)

10.3969/j.issn.1673-2006.2017.05.027

2016-12-20

国家自然科学基金“某些完全正则半群的性质和结构”(11201305)。

张建刚(1977-)，山东禹城人，博士，副教授，研究方向：代数半群理论。

O151.2

：A

：1673-2006(2017)05-0094-04