组合口径反射镜曲率半径误差分析

姜彦辉 陈晓丽 武永见 李岩

（北京空间机电研究所，北京 100094）

组合口径反射镜曲率半径误差分析

姜彦辉 陈晓丽 武永见 李岩

（北京空间机电研究所，北京 100094）

研制大口径望远镜系统，通常采用组合口径反射镜来代替单体反射镜。组合口径反射镜的方案相比于传统方案减小了加工、运输等各方面的困难，同时它也会引入分块镜的曲率半径误差。为更好地了解组合口径反射镜曲率半径误差对光学性能的影响，文章以整体口径为6.6m、曲率半径为21.34m的由18块六边形分块镜拼接而成的反射镜为例，对组合口径反射镜曲率半径误差进行分析。首先建立组合口径反射镜模型，通过计算求得反射镜的波像差与斯特列尔比，最终确定反射镜曲率半径误差的合理变化范围。结果表明，曲率半径误差对不同位置分块镜的波像差影响不同，去除位置因素后，各分块镜对反射镜波像差的影响相同。文章所设计的反射镜，如果各分块镜之间的曲率半径误差应小于±0.14mm，则满足斯特列尔比大于0.8且最大波像差小于λ/4。文章对组合口径反射镜的设计、加工和装调等有参考价值。

曲率半径误差 波像差 斯特列尔比 组合口径反射镜 航天遥感

0 引言

随着对望远镜分辨率的要求越来越高，光学系统口径也越来越大，受光学材料均匀性、加工水平等的限制，传统单体反射镜已经不能满足要求，需采用组合口径反射镜的解决方案[1-4]。组合口径是目前实现超大口径望远镜的主要技术途径。由于各分块反射镜（以下简称分块镜）单独加工和检测，它们的曲率半径必然存在差异且很难通过其它光学元件进行补偿，会使反射镜的面型发生复杂的变化，影响其光学性能，因此需要对曲率半径误差进行详细的分析。文献[5-7]对组合口径反射镜曲率半径误差做了大量的理论研究工作；文献[8]对三块分块镜模型进行了研究；文献[9]对曲率半径误差进行简单分析，但是涉及组合口径反射镜曲率半径误差分析并不全面。本文建立了组合口径反射镜模型，对曲率半径残余误差进行了详细分析，为组合口径反射镜的加工与装调提供参考。

1 组合口径反射镜数学建模

如图1所示，本文所研究反射镜是由多个六边形离轴非球面镜组成。分块镜的个数N和反射镜的圈数M满足式（1）（除去中间的通光孔径），反射镜外切圆直径D和单个分块镜外切圆直径d之间的关系为式（2）[10]。对于口径为6.6m的反射镜，考虑反射镜的加工水平、成本以及主动调整的复杂度等多方面因素，采用2圈18块分块镜的分块方式，此时每块分块镜外切圆直径约为1.52m。

建立组合口径反射镜模型，首先需要确定各分块镜中心点之间位置关系。以组合口径反射镜的中心点为坐标原点建立直角坐标系，如图1（a）所示。已知六边形分块镜外切圆半径r，可得到同一列分块镜的分块镜中心点坐标X轴相同，Y轴间隔为而相邻两列分块镜中心点之间的间隔为 3r/2。通过对分块镜位置分析，可以确定每个分块镜的中心点坐标。

如图1（b）为某个分块镜，以分块镜的中心点O′(x0，y0)作为基准点，在已知分块镜的外切圆半径r的情况下，利用六边形的对称性，可以算出六边形分块镜的每条边界的直线方程：

式中 L1、L2、L3、L4、L5、L6分别为某个分块镜的六条边；x、y为在XOY坐标系下的坐标。

2 组合口径反射镜误差分析及评价方法

2.1 误差分析方法

分块镜的曲率半径残余误差在一定范围内是随机分布的，本文假设曲率半径误差为某一范围内极值时，分析分块镜曲率半径残余误差对反射镜面形的影响。

本文设计的反射镜为非球面反射镜，因此分析不同空间位置分块镜的曲率半径误差对光学性能的影响时，其光学性能和分块镜中心与组合口径反射镜中心的距离有关，故可分为三种不同空间位置的分块镜，即如图1（a）中的分块镜A、分块镜B、分块镜C。

由于反射镜曲率半径误差会引起偏移误差和倾斜误差，即位置误差，而反射镜的位置误差是可以通过主动调整予以补偿[11-12]。对于组合口径反射镜光学系统波前检测与控制，首先需要探测全系统的波前，通过对波前图像分析确定各分块镜子镜与波前图像的位置对应关系，并应用 Zernike多项式分别拟合各分块镜的波像差，进而可以求得各分块镜的位置误差大小，最终调节各分块镜位姿[13-17]。由于本文所设计分析的为曲率半径误差对组合口径反射镜波像差的影响，已知分块镜波像差的位置对应关系，因此应用 Zernike多项式拟合分块镜波像差，即可求得各分块镜的位置误差大小，并在原始数据的基础之上去除位置误差，最终得到曲率半径误差对波像差的影响情况。

2.2 评价方法

本文应用反射镜曲率半径误差对最大波像差及斯特列尔比的影响作为评价标准，要求其满足瑞利准则最大波像差Wmax小于λ/4（λ=632.5nm）且斯特列尔比S.D大于0.8。

非球面反射镜矢高S为：

式中 R为反射镜的曲率半径；H为反射镜上点到光轴的径向坐标。当反射镜的曲率半径R远远大于分块镜的外切圆半径r时，反射镜的矢高近似表示为：

当反射镜的曲率半径R发生变化时，所引起的矢高变化为：

由式（6）求得反射镜曲率半径变化所引起的波像差W的变化为：

斯特列尔比（S.D）表示有像差时衍射像中心的最大亮度与无像差最大亮度之比[18]，表示为：

式中 ρ、θ分别为光瞳面极坐标；W（ρ，θ）为系统的波像差。而当系统为小像差情况下，S.D近似为：

式中 k为波数，即在光波传播方向上每个单位长度内的光波数；2与2分别为光瞳面上波像差的平方平均值和平均值的平方，即：

经过上述分析可知，反射镜曲率半径误差的增大会使其波像差也随之增大，同时波像差的改变会使反射镜的斯特列尔比也随之变化，通过对波像差及斯特列尔比的分析，可以确定分块镜曲率半径误差合理范围。

3 仿真分析

本文所设计的非球面反射镜由18块六边形分块镜拼接而成，反射镜外接圆直径为D=6.6m，曲率半径为R=21.34m，应用MATLAB软件对组合口径反射镜进行仿真分析。

根据第一节所述的组合口径反射镜建模方法，对本文所设计的反射镜进行建模分析，如图2所示为组合口径反射镜不存在误差时的理想面形图像。

3.1 空间位置对曲率半径误差影响

当分块镜存在曲率半径误差时，通过式（7）即可求出反射镜的波像差，进而可以求出其最大波像差。当不同位置分块镜存在不同的曲率半径误差时，反射镜的最大波像差变化如图3（a）所示，由图像可知，分块镜曲率半径误差对波像差的影响随着分块镜中心与反射镜中心的距离的增大而增大。当去除了分块镜的位置误差后，其最大波像差图像如图3（b）所示，此时不同位置分块镜的曲率半径误差的变化对反射镜最大波像差影响相同。由此可知，当曲率半径误差相同时，不同位置分块镜的曲率半径误差所引起的波像差不同是由于其所引起的位置误差不同，通过去除分块镜的位置误差后，各分块镜曲率半径误差对波像差的影响相同。

3.2 曲率半径误差不一致性分析

组合口径反射镜的各分块镜存在曲率半径误差（ΔR=±0.1mm）时，反射镜波像差图像如图4（a）所示，此时反射镜曲率半径误差有正有负。通过式（7）和式（9）即可求出分块镜存在曲率半径误差时，反射镜的最大波像差及斯特列尔比的大小，经过分析，若要满足最大波像差小于λ/4及斯特列尔比大于0.8的要求，则分块镜的曲率半径误差ΔR=±3.7μm，其对分块镜曲率半径残余误差要求十分苛刻。由图4（a）可知，此时各分块镜波前与理想镜面存在位置误差，而位置误差可以通过调节进行补偿。当去除图4（a）中各分块镜的位置误差后，组合口径反射镜曲率半径误差对波像差的影响如图4（b）所示，由图像可知，此时反射镜的波像差图像与原波像差图像相比数值明显变小，因而极大地降低了曲率半径误差对反射镜波像差的影响。

去除了分块镜的位置误差后，曲率半径误差所引起的波像差均方根WRMS、最大波像差Wmax以及斯特列尔比S.D的变化曲线如图5所示。由图像可知，组合口径反射镜的波像差随着曲率半径误差的增大而逐渐增大，斯特列尔比随曲率半径误差的增大逐渐减小，拟合公式如下：

经过分析，根据对组合口径反射镜的要求，对于λ=632.5nm的波长，当组合口径反射镜整体的曲率误差ΔR=±0.14mm时，反射镜最大波像差为Wmax=0.157 2λ＜λ/4，满足瑞利准则的要求，同时反射镜的斯特列尔比S.D=0.815 5，满足大于0.8的要求，反射镜的波像差均方根WRMS=0.068 4λ，因此所设计的组合口径反射镜曲率半径误差标准为ΔR=±0.14mm满足要求，是合理可行的。

由上述分析可知，组合口径反射镜的曲率半径误差会使分块镜产生位置误差，通过对比去除位置误差与未去除位置误差的两种情况下反射镜光学性能的变化，可以得出，去除分块镜的位置误差后，极大降低了组合口径反射镜的曲率半径误差对光学性能的影响，进而更好的分析组合口径反射镜存在曲率半径误差时，反射镜光学性能的变化情况，经过分析此时反射镜的主要像差为离焦和球差。

5 结束语

本文介绍了组合口径反射镜建模方法，并对其曲率半径残余误差进行了详细的仿真计算分析。当组合口径反射镜存在曲率半径误差时，反射镜面形会发生变化，进而影响光学系统的波像差及斯特列尔比等光学性能，通过计算分析，确定组合口径反射镜曲率半径误差的合理变化范围。经过分析，所得到的结论为：曲率半径误差对不同位置分块镜的影响不同，分块镜的波像差随着分块镜中心与反射镜中心距离的增大而增大，这是由于其产生的位置误差大小不同所导致的，补偿了位置误差后，分块镜空间位置对反射镜波像差的影响相同；当分块镜存在曲率半径误差时，若要满足光学性能要求，则曲率半径误差ΔR=±3.7μm，补偿各分块镜的位置误差后，曲率半径误差需要满足ΔR=±0.14mm，极大降低了对曲率半径误差的要求。本文讲述了计算组合口径反射镜曲率半径误差合理变化范围的方法，为实际加工、检测、装调等提供重要的参考价值。

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Error Analysis of Curvature Radius of Segmented Mirror

JIANG Yanhui CHEN Xiaoli WU Yongjian LI Yan
（Beijing Institute of Space Mechanics & Electricity, Beijing 100094, China）

There are big advantages using segmented mirror instead of monoliphic mirror to build large aperture telescope. There are less difficulties in fabrication, transportation and adjustment using segmented mirror comparing with the traditional scheme, in the meanwhile, the error of curvature radius is generated. In this paper, the error of curvature radius is analyzed on the basis of a 18 segmented hexagonal mirrors with the monolithic aperture of 6.6 meters and the curvature radius of 21.34 meters to better understand the impact of the curvature radius error of segmented mirror on optical system. First of all, the model of segmented mirror is built, then the wave aberration and Strehl Ratio of mirror are analyzed, at last the reasonable error range of curvature radius of mirror is determined. The results show that the curvature radius has various impact on wave aberration of segmented mirror in different position, when the factor of position is removed, the impacts are the same. For the mirror designed in this article, if the curvature radius error of segmented mirror is within ±0.14mm , then the mirror will satisfy that Strehl Ratio is more than 0.8 and the maximum wave aberration is less than λ/4. This paper can offer some important reference for the design, process and adjustment of the segmented mirrors.

curvature radius; error; wave aberration; Strehl Ratio; segmented mirror; space remote sensing

TP722.4

A

1009-8518(2017)03-0102-07

10.3969/j.issn.1009-8518.2017.03.012

姜彦辉，男，1991年生，2010年获长春理工大学学士学位，现在中国空间技术研究院光学工程专业攻读硕士学位。研究方向为空间遥感器系统设计。E-mail： 1244522236@qq.com。

（编辑：毛建杰）

2017-01-20

国家重点研发计划地球观测与导航重点专项（2016YFB0500802）