连续型随机变量的分布函数的计算方法

王仲梅,孟献青

(1.湖南商学院数学与统计学院，湖南长沙410000;2.山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009)

连续型随机变量的分布函数的计算方法

王仲梅1,孟献青2

(1.湖南商学院数学与统计学院，湖南长沙410000;2.山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009)

通过实例给出了如何用定义计算连续型随机变量的分布函数，并且给出了另外一种相对简单的求一维连续型随机变量的分布函数的方法。

连续型随机变量；分布函数；连续函数；概率密度函数

在概率统计中，对于连续型随机变量X，若已知概率密度 f(x)，求分布函数F(x)的公式很简单，即在用这个公式求分布函数的时候主要有两种情况[1-3]：第一种是 f(x)是非分段函数，例如标准正态分布这时候直接利用公式可以计算出F(x)=这种情况相对比较简单；第二种是 f(x)是分段函数，这类问题在本科学习阶段比较多，而且部分学生会觉得比较难。下面我们主要讨论 f(x)是分段函数的情形。

定义1设X是一个随机变量，x∈R，则称F(x)=P(X≤x)为随机变量X的分布函数。

由定义1，分布函数F(x)显然满足：

（1）单调不减，即若 x1,x2∈R ，且 x1≤x2，则F(x1)≤F(x2)；

（2）0≤F(x)≤1，且F(-∞)=0,F(+∞)=1 ；

下面我们讨论两种求解F(x)的方法：

方法1：定义法

定义2如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数 f(x)，对任意 x∈R有

解：根据分布函数的定义知，分布函数的定义域是R。 f(x)是个分段函数，它的分段点将数轴分成了四个区间，所以我们在每个区间上进行。

所以，随机变量X的分布函数

方法2：求 f(x)的一个原函数F(x)，

先给出下面两个简单的定理。

定理1连续型随机变量的分布函数是连续函数。

证明由定义2知连续型随机变量的分布函数是一个变上限函数，从而是连续函数。

定理2若连续型随机变量X具有概率密度

证明由分布函数的性质 F(-∞)=0,F(+∞)=1知，C1=0,(x〈a1),Cn=1,(x∈其他),又因为 F(x)=所以在每个连续的区间段内F′(x)=f(x)，即F(x)是 f(x)的一个原函数，所以∫hn(x)dx=Gn(x)+Cn，又因定理1知F(x)是连续函数，所以

解：由定理2知：

综上，方法2与方法1相比，把方法1中求的公式中定积分计算转化成了简单不定积分的计算，相对简化了计算量。

[1]韩旭里.概率论与数理统计[M].上海：复旦大学出版社,2012.

[2]熊万年.概率论与数理统计[M].长春：东北师范大学出版社,2014.

[3]桂春燕.连续的分布函数与连续型随机变量的关系[J].安庆师范学院学报（自然科学版），2015(2)：101-102.

The Calculation Method for Distribution Function of Continuous Random Variable

WANG Zhong-mei1,MENG Xian-qing2
（1.School of Mathematics and Statistics,Hunan Business College,Changsha Hunan,410000;2.School of Mathematics and Computer Sciences,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009）

In this paper,an example shows how to compute distribution function of the continuous random variable by definition and presents an other method.Compared to the definition,the present method is simpler and costs less calculation.

continuous random variable;distribution function;continuous function;the probability density function.

O175

A

〔责任编辑 高海〕

1674-0874(2017)01-0016-02

2016-10-15

王仲梅(1980-)，女，山西大同人，硕士，讲师，研究方向：图论及其应用。