矩形脉冲激励下自复位墙的摇摆响应

周 臻 朱冬平 谢 钦

(东南大学混凝土及预应力混凝土结构教育部重点实验室, 南京 210096)

矩形脉冲激励下自复位墙的摇摆响应

周 臻 朱冬平 谢 钦

(东南大学混凝土及预应力混凝土结构教育部重点实验室, 南京 210096)

为了提高自复位墙在强震作用下的抗震性能,对其在矩形脉冲激励下的动力摇摆响应进行了研究．在假定墙体刚性和墙体-地基无滑移的基础上,建立了自复位墙的摇摆动力分析方程．引入小倾角假定对动力方程进行适当简化,并考虑墙体在摇摆过程中与基础碰撞的能量损失,通过理论推导得到了自复位墙摇摆响应的解析解．针对一个自复位墙算例,采用该方法进行动力摇摆分析,并与增量数值求解的结果进行对比验证．此外,基于动力方程中的恢复系数,给出了自复位墙等效黏滞阻尼的计算公式,研究了不同墙底基础碰撞界面材料特性对自复位墙摇摆响应的影响．结果表明:解析解能够反映墙体在矩形脉冲激励下的动力摇摆响应;自复位墙的等效黏滞阻尼随着恢复系数的增加而降低,二者基本成线性关系;墙体在摇摆过程中等效黏滞阻尼随着周期的增加而增大．

自复位墙;摇摆响应;矩形脉冲;解析解;等效黏滞阻尼

近年来,功能可恢复结构(resilient structures)逐渐成为结构工程领域的研究热点[1],其中摇摆墙和自复位墙结构由于具有良好的地震损伤控制[2]和震后自恢复能力而引起国内外众多学者的关注[3]．

由于摇摆墙和自复位墙释放了结构与基础间的约束,因此在强震脉冲激励作用下,结构将产生明显的动力摇摆效应．Housner[4]最早进行了摇摆块在正弦半波和矩形波作用下的动力响应分析．Makris等[5]分析了近断层地震激励对摇摆结构动力响应的影响．Zhang等[6-7]进一步对带有底部锚固的摇摆块在三角函数波作用下的动力响应进行了分析．Dimitrakopoulos等[8]采用三角函数脉冲激励研究了摇摆快的动力响应．Voyagaki等[9]分析了摇摆块在矩形周期荷载下的倾覆,并详细计算了其倾覆条件．Kalliontzis等[10]对摇摆块中的重要参数COR进行了估计．

自复位墙是在摇摆墙基础上引入后张无黏结预应力筋而形成的一种新型自恢复结构体系,能够有效减小结构的震残余变形,提升结构的抗震性能,因而在近年得到较为广泛的研究,在自复位墙结构的拟静力试验[11]和滞回性能[12]、数值模拟与设计方法[13]等方面取得了较多成果．与摇摆结构类似,自复位墙在强震的脉冲作用下会产生摇摆动力响应,但预应力体系的引入使得自复位墙的动力摇摆方程和摇摆响应机理与摇摆结构存在明显差异,但目前相关研究较少．本文针对矩形脉冲激励下自复位墙的摇摆响应进行理论分析,建立了自复位墙的摇摆动力方程,采用微分方程求解推导了墙体摇摆的理论解析解,并与增量数值分析结果进行了对比,在此基础上研究了墙底-基础碰撞界面材料特性对自复位墙动力摇摆响应和碰撞耗能能力的影响．

1 基本模型

图1(a)给出了自复位墙的示意图，墙体假设为刚形体，且基础同样属于刚体.墙体与基础之间不存在相对滑动，根据ElGawady等[14]的分析，墙体与基础之间的碰撞应该在瞬间完成，即墙体与基础无黏结力作用.为便于计算，设墙体宽度为2b，墙体高度为2h，墙体绕O点或者O′点转动的半径为R，则转动半径R=(b2+h2)1/2.在墙体中间布置预应力筋，设定预应力筋初张力为P0，预应力筋劲度系数为kp.图1(b)给出了墙体在脉冲荷载作用下绕O点正向摇摆的示意图，本文假设墙体向右侧摇摆为正.图1(c)给出脉冲激励的加速度示意图，脉冲加速度的幅值为ag，持续时间为2tg，整个加速度波形由2个对称的持时为tg的矩形波组成.本文将分析自复位墙在该类型脉冲波作用下的摇摆响应.

(a) 计算模型

(b) 摇摆形态

(c) 脉冲激励

2 基本方程

自复位墙在正向摇摆时绕O点转动,在负向摇摆时绕O′点转动,因此其动力方程为分段形式:

当θ(t)>0时

(1)

当θ(t)<0时

(2)

式中,IO表示墙体绕O点或者O′点的转动惯量(对于矩形块体,IO=4mR2/3);θ为墙体绕O点或者O′点的转动角度;m为墙体质量;g为重力加速度;α=arcsin-1(b/R)．

采用符号函数对式(1)和式(2)进行合并简化,可得

(3)

令P=(mgR/IO)1/2=(3g/(4R))1/2,则式(3)可简化为

(4)

基础加速度为反对称的矩形波,根据阶跃函数的定义,可以将该类型的加速度表示为

(5)

式中,H(t)为Heaviside阶跃函数．

式(3)、(4)带有三角函数,因此其理论解求解非常困难,需要对其进行简化．对于一般的自复位墙结构,倾覆角α为较小值,故采用与文献[5]类似的简化方法,即sin(θ)=θ,cos(θ)=1．将式(4)进行简化,可得

(6)

如果要使墙体发生摇摆,那么基础加速度必须满足下式:

(7)

对于自复位墙,可将加速度简化为

(8)

式中，α应小于20°[15]．

3 理论解析

墙体在完整的脉冲激励下存在较为复杂的动力行为．假设墙体在理想状态下不存在倾覆,且预应力筋不会断裂,则墙体处于往复摇摆的状态中．在正向摇摆的过程中θ(t)>0,且墙体初始处于静止状态,即θ(0)=0且θ′(t)=0．根据墙体运动方程简化表达式(6)，可得到墙体摇摆的理论解为

(cos(Qt)-1)-agIOP2[cos((t-2tg)Q)-1]·

H(t-2tg)+2agIOP2[cos((t-tg)Q)-1]·

H(t-tg)}

(9)

式中

(10)

对于自复位墙,预应力筋刚度系数kp较大,可以保证Q为正值．

根据假设,在碰撞过程中不存在弹跳,但由于墙体与基础之间存在碰撞,因此会产生能量损失．Yilmaz等[16]以及Prieto等[17]均对此进行了研究,但目前普遍采用的方法为Housner[4]研究摇摆块时根据摇摆块角动量守恒提出的能量损失计算方法:

(11)

式(11)通过速度折减来表示系统碰撞过程中的能量损失,恢复系数r可通过摇摆体角动量守恒计算得到:

(12)

式(12)是一个理想情况下的计算表达式,在实际情况中,由于存在摩擦、滑移以及墙体和基础均非刚体,恢复系数r值总是小于式(12)的计算结果．

2agIOP2cos((t-tg)Q)+

(-bgP0+IOP2(ag-gα))cos((t-ti)Q))-

agIOP2[cos((t-2tg)Q)-1]H(t-2tg)+

2agIOP2[cos((t-tg)Q)-1]H(t-tg)+

(13)

其中,r由式(12)计算得到．

(14)

由于式(14)同样使用式(5)的脉冲激励加速度,因此在脉冲结束后且θ(t)<0时,式(13)仍然是适用的．

(15)

而在墙体转动(θ(t)<0)的过程中,式(14)的解为

(16)

4 算例分析

本节将针对上面计算推导的理论解析结果,结合具体的实例计算墙体的摇摆响应．同时,利用数值积分方法求解模型的摇摆响应,并与理论解结果进行对比验证．

4.1 算例模型

验证模型如图2所示,自复位墙体宽为1m,高为6m,在墙体中间有一根初张力为150kN的无黏结预应力筋,通过预应力筋的弹性模量以及预应力筋的面积换算得到预应力筋的弹性刚度为4.9MN/m．因此墙体的倾覆角α为9.453°,根据式(8)可计算得到所需要的最小基础加速度为9.95m/s2．同时为了控制预应力筋的内力，取矩形脉冲持时为0.5s,加速度幅值为12m/s2．

图2 模型尺寸(单位：m)

4.2 强迫振动分析

图3 自复位墙在脉冲下摇摆时程

图4 脉冲激励误差绝对值曲线

4.3 自由振动分析

采用式(15)、(16)进行自由振动分析．墙体在强迫振动结束之后进入自由振动时的位移和速度可从图3得到．图5给出了在自由振动阶段的解析计算结果和数值解的对比,从图中可以看出,解析表达式计算结果与数值解结果吻合很好．

图5 自由振动时程

图6给出了自由振动阶段的相对误差曲线,同前述分析类似,在每一次碰撞发生的阶段,解析计算结果与数值解计算结果存在一定的误差,但在摇摆过程中,二者的差距同样非常小．这也验证了式(15)和式(16)的正确性．相对于图4在0.75 s处的误差,图6在0.75 s处的误差小得多,这是由于图4和图6的计算是基于不同表达式,且图6在计算时将速度进行了折减．

图6 自由振动误差绝对值曲线

5 墙底基础界面材料特性对墙体耗能的影响

ElGawady等[14]通过试验发现,在自复位墙底与基础之间设置不同的材料将会对自复位墙的恢复系数r产生较大的影响．同时,根据图7给出的自复位墙在矩形脉冲作用下的时程曲线可以发现,由于恢复系数r的作用,使得墙体即使没有安装阻尼装置,也具有一定的碰撞耗能能力．式(12)给出的恢复系数是进行速度折减的上限,需要根据实际情况由碰撞界面材料确定不同的恢复系数r．因此自复位墙与基础碰撞产生的耗能需要详细分析．本节将采用不同的恢复系数r研究其对墙体的耗能影响,等效黏滞阻尼比将被作为衡量指标评价体系耗能．

根据等效黏滞阻尼的定义,结构的等效黏滞阻尼计算公式为

(17)

式中,ED为一个周期中所耗散的能量;Es为应变能．

在本文分析的自复位墙中,预应力筋一直处于弹性状态,墙体与基础为刚性体,结构体系的耗能来自于墙体与基础的碰撞,因此耗能在瞬间产生,无法绘制出墙体的滞回曲线．

根据体系耗能原理,图7矩形框中表示本文采用的计算周期．一个周期耗散的能量为

(18)

墙体的应变能计算公式为

(19)

式中,θmax为当前周期中最大转角;M*为结构的最大弯矩,与θmax有关,计算公式为

M*=mgRsin(α-θmax)+P0b+kpb2sin(θmax)

(20)

图8给出了在不同r值作用下自复位墙的时程曲线．为了使结构响应更加明显,此处调整了基础脉冲的幅值,使得结构转角幅值更大．由于预应力筋一直保持弹性,因此即使墙体的转角超过墙体的倾覆角度(θ>α),墙体也能够复位．

图8 不同恢复系数r下墙体时程曲线

由图8可看出,恢复系数r值具有明显的“阻尼”作用,在不同的r值作用下,墙体与基础碰撞的时刻会发生变化．同时r值的增大会使墙体的摇摆幅值迅速下降直至墙体停止摇摆．

图9和图10分别给出了墙体等效黏滞阻尼ζeq与恢复系数r和计算周期k的关系曲线．从图9可看出,恢复系数r基本与等效黏滞阻尼成线性关系,随着恢复系数r的增加,等效黏滞阻尼均匀降低．从图10可明显看出,随着计算周期的增加,等效黏滞阻尼也增加．因此自复位墙的摇摆幅度会随着摇摆周期的增加而快速减小．

图9 等效黏滞阻尼与恢复系数r关系曲线

图10 等效黏滞阻尼与计算周期k关系曲线

6 结论

1) 建立了自复位墙在矩形脉冲作用下的动力反应方程,并在适当简化后,推导得到了其精确解析解．

2) 针对自复位墙算例进行了动力响应分析,并与增量数值求解结果进行了对比,验证了本文理论分析方法的正确性．

3) 基于动力方程中的恢复系数r,给出了自复位墙等效黏滞阻尼的计算公式,研究了不同墙底-基础碰撞界面材料特性对自复位墙摇摆响应的影响,结果表明墙体等效黏滞阻尼随着r值的增加而降低,二者几乎成线性关系;同时随着计算周期的增加,墙体的等效黏滞阻尼亦会增加．

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Rocking response of self-centering wall under rectangular pulse

Zhou Zhen Zhu Dongping Xie Qin

(Key Laboratory of Concrete and Prestressed Concrete Structures of the Ministry of Education, Southeast University, Nanjing 210096, China)

To improve the seismic performance of self-centering wall under strong ground motion, the rocking response of the self-centering wall under rectangular pulse is investigated. Based on the no-slipping and rigid base assumptions, dynamic equations of a self-centering wall under rectangular pulse are derived. The exact analytical solutions considering the energy dissipation in the rocking process are derived from the simplified dynamic equations with minor rocking angle assumption. A specific self-centering model is analyzed with the analytical solutions, and the results of analytical solutions are verified by the numerical solutions. Additionally, on basis of the restitution factor in equations, the method for calculating the equivalent viscous damping ratio for the self-centering wall is given as well. The influence of different materials between wall base and foundation on the rocking response of a self-centering wall is analyzed. The results show that the analytical solution can reflect the rocking behavior under rectangular pulse. The equivalent viscous damping ratio decreases with the increase of the restitution factor, and there is a linear correlation between them. With the increase of the rocking period, the equivalent viscous damping ratio increases in the rocking process.

self-centering wall; rocking response; rectangular pulse; analytical solution; equivalent viscous damp ratio

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.04.015

2016-12-06. 作者简介: 周臻(1981—)，男，博士，教授，博士生导师，seuhj@163.com.

国家自然科学基金资助项目(51208095)、江苏省“青蓝工程”资助项目、江苏省六大人才高峰资助项目(JZ-002)、江苏省普通高校研究生实践创新计划资助项目(SJLX15_0033).

周臻,朱冬平,谢钦.矩形脉冲激励下自复位墙的摇摆响应[J].东南大学学报(自然科学版),2017,47(4):717-723.

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.04.015.

TU352.1

A

1001-0505(2017)04-0717-07