考虑任意压力分布的裂缝诱导应力场计算模型及其应用

彭 瑀,李勇明,赵金洲

(西南石油大学油气藏地质及开发工程国家重点实验室,四川成都610500)

考虑任意压力分布的裂缝诱导应力场计算模型及其应用

彭 瑀,李勇明,赵金洲

(西南石油大学油气藏地质及开发工程国家重点实验室,四川成都610500)

通过复分析和断裂力学Westergaard应力函数方法建立局部受均匀内压力作用下的诱导应力分布模型,并以此为基本单元结合数值积分复化矩形法的思路,叠加得到考虑任意压力分布情况的诱导应力计算模型。采用先计算再虚实分离的方法进行编程,验证单元模型的精度。模拟缝内压降、裂缝不对称延伸和净压力周期性波动对裂缝诱导应力的影响。结果表明:经典的裂缝诱导应力模型仅是局部受均匀内压力模型的特解;考虑缝内压降后,远井位置形成缝网的可能性大幅度下降,天然裂缝的稳定性显著提高;裂缝不对称延伸使裂缝附近的压应力区向短半缝偏移,但远离裂缝区域的诱导应力仍关于裂缝中垂线对称;缝内净压力周期性波动对诱导应力的影响范围在五分之一半缝长以内,求解远离裂缝区域的应力时,可以将平均压力直接带入经典公式计算。

压裂;诱导应力;净压力;不对称延伸;数学模型

水力裂缝周围的诱导应力分布对于分段压裂缝间应力干扰[1]、后续裂缝起裂[2-3]和原有天然裂缝(结构弱面)的稳定性[4-5]具有重要影响。国内外学者针对该问题展开了大量研究,Atkinson等[6]通过解析和数值方法研究了近井弯曲裂缝的应力和位移分布规律;Taghichian等[7]通过商业软件模拟了水力裂缝应力阴影区域的尺寸和特征;Cheng、Bunger和Dahi等[8-10]分别通过解析、有限元和扩展有限元方法研究了在诱导应力影响下水力裂缝和天然裂缝的相互作用机制。但目前多数文献中都没有考虑缝内流体压降对诱导应力的影响,还缺少一种快速、准确的可以计算任意缝内压力分布的诱导应力模型。笔者在前人研究的基础上,通过复分析和Westergaard应力函数方法建立局部受均匀压力作用下的诱导应力分布模型,并验证其精度,借鉴数值积分的思路,叠加得到考虑任意压力分布情况的诱导应力计算模型,并模拟水力裂缝缝内压降、裂缝不对称延伸和净压力周期波动对应力分布的影响。

1 单元模型的建立与求解

根据Westergaard的理论[11-12],若有一解析函数Z能够令形如式(1)的应力函数满足I型裂纹的等应力边界条件,则根据解析函数的性质和柯西黎曼条件可以得到其应力分布,

式中,Z为某一解析函数,MPa;z为解析函数Z的自变量,m;x和y为直角坐标参数,m。

求解裂缝在任意局部均匀压力作用下的诱导应力分布模型,假设在无限大地层中有一条处在平面应变状态的裂缝,长2a。以裂缝中心为原点,缝长方向为x轴,缝面法向为y轴建立直角坐标系,如图1所示。

Tada等[13]通过对缝面任意位置受集中应力作用解的卷积得到了解析函数Z:

式中,a、b和c为图1中对应点横坐标,m;pn为某一段所受均匀内压,MPa。

图1 计算任意压力作用下裂缝诱导应力的基本单元Fig.1 Basic computation element of induced stress under arbitrary inner pressure

计算式(2)还需要解析函数Z的导数,对式(3)求导可得:

通常在采用Westergaard应力函数方法求解弹性力学问题时[14],会要求对式(3)和式(4)进行虚实分离,得到直观的应力分布表达式。但观察式(3)和式(4)可以发现,其虚实分离相当困难,即便将反三角函数代换成对数函数[15],其结果仍然须按照[-a,0]、[-c,0]、[-b,0]、[0,0]、[b,0]、[c,0]、[a,0]7个点展开复变函数[16],导致最终解分为8个区域,十分不利于计算,因此笔者在编程时采用了先计算再分离的思路,并不直接对式(3)和式(4)进行处理,而是将a、b、c、z等参数赋值按照复变函数运算规则计算得到复数解后,再对其进行虚实分离带入式(2)。

2 单元模型的验证

根据上述方法编程计算得到的缝面任意位置(此例取b=0.5a,c=0.6a)受均匀压力作用下的y方向正应力分布如图2(a)所示,当b=-a、c=a时,计算结果如图2(b)所示。

从图2(a)可以看出,在缝内局部区域受均匀内压作用时,裂缝尖端仍然具有奇异性,应力分布明显不再关于中垂线对称,图2(b)模拟的结果与使用经典解析模型计算的结果完全一致[17],证明式(2)～(4)构成的缝内局部区域受均匀内压作用的诱导应力解正确,原有的经典解析模型只是该模型的特例(b=-a、c=a)。进一步根据数值积分复化矩形法的思路,在求解任意压力作用下的诱导应力分布时,可以将其近似表示为n个局部均匀压力导致的诱导应力之和,显然n越大,求解结果越精确。根据内压力变化,累次叠加后的解析函数Z及其导数可以表达为

式中,di为按缝长方向进行离散分段的第i个结点;pi为对应结点的压力,MPa;n为总的离散段数。

3 压降对诱导应力的影响

Economides等[18]认为发生完全层间滑移的水力裂缝可以在水平截面上应用(广义)平面应变假设,因此可以将拟三维模型模拟输出的压降曲线作为本模型的输入参数。以缝口净压力为参考压力,裂缝半长为参考长度,可以由拟三维模型得到一组无因次净压力与无因次距离的关系[19-20](当然这组关系并不是唯一确定的,这里只是作为后续模拟的输入参数使用),如图3所示。对曲线进行如图所示的处理,将光滑的净压力曲线离散为一系列不连续的矩形均匀应力(红色方框)。再将图3中各参数映射到图2的实际尺寸下,并带入到式(2)～(4)进行叠加处理,即可得到图4。

比较图2(b)和图4可知,当考虑水力裂缝内的流动压降时,诱导应力的压应力区和拉应力区都显著减小(拉正压负)。对于缝间应力干扰研究,如果考虑了缝内压降,转向区域会明显减小,在远井位置形成裂缝网络的可能性会大幅度降低;而对于起裂压力的计算,考虑缝内流体压降会使周围其他点的起裂附加应力减小,经典模型对于起裂附加应力的计算过于保守。

图2 不同缝内均匀压力作用下的诱导应力分布Fig.2 Induced stress distribution under different local uniform inner pressure

图3 无因次净压力和无因次距离的关系Fig.3 Relationship between dimensionless net pressure and dimensionless distance

图4 流体压降对诱导应力分布的影响Fig.4 Influence of pressure drop on induced stress distribution

从图5差值图版可以看出,与无压降模型相比,考虑缝内压降对诱导应力分布的影响主要集中在裂缝尖端。因此,实际水力压裂施工中,天然裂缝的稳定性大大高于文献[4]的估计;在分析天然裂缝的稳定性时,应该考虑采用本文中推荐的诱导应力计算公式。

图5 不考虑缝内压降与考虑缝内压降的差值分布Fig.5 Stress distribution difference between no pressure drop and taking pressure drop into consideration

4 非对称延伸对诱导应力的影响

常规压裂施工中经常会出现裂缝两翼长短不一的情况。在缝高扩展分析时,一般也认为上缝高会略大于下缝高。因此,不论将平面应变假设应用在缝长方向还是缝高方向都会面临非对称延伸的问题。经典模型只能考虑缝内压力均匀分布的边界条件,不能模拟裂缝非对称延伸的影响。建立的考虑任意压力分布的模型则可以通过对边界条件的调整模拟非对称延伸对裂缝诱导应力分布的影响。

图6给出了上下半缝高(左右半缝长)分别为14和6 m的诱导应力分布云图。其中x轴上的-4 m处为注液的入口,因此为最高压应力区。从裂缝诱导应力的整体分布看,压应力区在靠近裂缝的位置不对称分布,短半缝周围形成缝网的可能性更大;但在远离裂缝的位置(距离裂缝二分之一半缝长以外),压应力区逐渐转变为对称分布,由于平均压力的下降,远离裂缝区域的应力绝对值远小于图2(b)中的对应位置。长半缝的拉应力区明显大于短半缝,更容易导致周围的天然裂缝剪切滑移,这一区域会给微地震的检波器传递更多的破裂信号[21]。

图6 裂缝非对称延伸对诱导应力的影响Fig.6 Influence of asymmetric propagation on fracture induced stress

5 周期内压力对诱导应力的影响

裂缝延伸过程中由于地应力和渗透率随地层沉积韵律的变化,经常会导致缝内净压力呈现不规则的分布。为了研究缝内净压力波动对诱导应力分布的影响,采用本文中模型模拟缝内净压力呈周期性变化时裂缝周围应力分布。

图7为缝内压力存在周期性变化但平均压力与图2(b)相等时的裂缝诱导应力模拟结果。从图7可以看出,周期性的压力波动仅对距离裂缝壁面五分之一半缝长以内区域的应力分布具有一定影响,远离裂缝区域的应力与图2(b)基本一致。说明当平均压力相等时,内压力波动对应力分布影响不大,在常规计算中,计算远离裂缝区域的应力时可以将平均压力直接带入经典公式计算。

图7 净压力波动对诱导应力分布的影响Fig.7 Influence of periodical inner pressure on fracture induced stress

6 结 论

(1)使用复变函数方法建立了局部受均匀压力作用下的裂缝诱导应力模型,并以该模型作为基本单元,借鉴数值积分思路,叠加得到了可以计算任意内压力作用下裂缝诱导应力分布的计算模型。

(2)验证了模型的精度,认为经典的裂缝诱导应力计算模型仅是局部受均匀内压力模型的特解。

(3)与恒定内压相比,考虑缝内压降对诱导应力分布的影响主要体现在裂缝尖端,该影响会导致远井位置形成缝网的可能性大幅度下降、天然裂缝的稳定性显著提高。

(4)不对称延伸会对诱导应力分布产生显著影响,裂缝附近(二分之一半缝长以内)的高压应力区会向短半缝偏移,但远离裂缝的应力分布依然关于裂缝中垂线对称。

(5)地应力变化引起的净压力周期性波动不会对诱导应力产生较大影响。

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(编辑 李志芬)

Modeling of fracture induced stress under arbitrary pressure distribution and its application in hydraulic fracturing

PENG Yu,LI Yongming,ZHAO Jinzhou
(State Key Laboratory of Oil&Gas Reservoir Geology and Exploitation,Southwest Petroleum University,Chengdu 610500,China)

A new fracture induced stress model was established that can calculate the stress distribution around a section of the fracture under local pressure,in which complex analysis and the Westergaard stress function in fracture mechanics were applied.Superposition of the above model to the whole hydraulic fracture,a novel model that can compute the induced stress around the fracture under arbitrary pressures was then developed.The simulation results show that the new model has high calculation accuracy,and the classical model can be as a special case of the new model.In the simulation of the influence of pressure drop,asymmetric propagation and net pressure undulate on the induced stress,the results show that,when the pressure drop is taken into consideration,the possibility for the formation of a fracture net is decreasing rapidly from wellbore to fracture tip,but the stability of natural fractures is increasing significantly.Asymmetric propagation can lead to a compressive stress section skewing to the short half fracture,while the stress distribution far from the fracture is still symmetrical to the mid-perpendicular.The affection of the net pressure undulate is within one fifth of the half fracture length.So in this case,the average pressure can be taken into the classical model to calculate the stress distribution far from the fracture face.

hydraulic fracturing;induced stress;net pressure;asymmetric propagation;mathematical model

TE 357.1

:A

彭瑀,李勇明,赵金洲.考虑任意压力分布的裂缝诱导应力场计算模型及其应用[J].中国石油大学学报(自然科学版),2017,41(3):92-97.

PENG Yu,LI Yongming,ZHAO Jinzhou.Modeling of fracture induced stress under arbitrary pressure distribution and its application in hydraulic fracturing[J].Journal of China University of Petroleum(Edition of Natural Science),2017,41(3):92-97.

1673-5005(2017)03-0092-06doi:10.3969/j.issn.1673-5005.2017.03.011

2016-06-28

国家自然科学基金重大项目(51490653);国家“973”重点基础研究发展计划(2013CB228004)

彭瑀(1988-),男,博士研究生,研究方向为油气藏压裂酸化理论与应用。E-mail:pengyu_frac@foxmail.com。

赵金洲(1962-),男,教授,博士,博士生导师,研究方向为油气藏压裂酸化理论与应用。E-mail:zhaojz@swpu.edu.cn。