一元一次方程应用题初探

陈小荣

摘要：列一元一次方程解应用题关键是找到等量关系，难点是将实际问题转化为单纯的数学问题，通过对数学问题的解决获得对实际问题的解决方法，从而让基础差的学生感到应用题我也能学。

关键词：分析法；相等关系；问题转化法

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）05-0119

从小学到初中，数学应用题一直是数学教学的难点，也是考试的必考题。然而，不少学生从小学升到初中后对应用题失去信心，甚至出现放弃的现象。如何提高学生学习应用题的解题能力，这也是摆在初中数学教师面前的必要课题。下面，笔者将谈谈对应用题的一些不成熟的看法，敬请同行批评指正。

一、在解应用题时要由浅入深、由易到难

七年级的一元一次方程的应用采用程序化（格式化）解题，这样有助于帮助学生建立正确的模型，让学生容易接受，一步一个脚印地培养学生的学习信心，渐渐地让学生消除对应用题的恐惧心理。笔者分析应用题的关键是如何找准等量关系。笔者把基础的应用题分成两类，一类是只有一个等量关系，另一类是有两个等量关系。

1. 一个等量关系的应用题

例如小明买了三块面包和一盒牛奶（每盒）1.8元，付出10元，找回4元，求一块面包的价格。分析：（1）此题的关键是三块面包和一盒牛奶共花了多少？让基础差的学生分析，几分钟后他们也能发现三块面包的钱和一盒牛奶的钱的和是6元，设每块面包花了x元，三块面包花了3x元。列方程如下：3x+1.8=10-4，这样原来一元一次方程的应用题我也能做。让他们多尝试几回，他们对应用题也能尝试一下。虽然不一定能做出来，但比不做强。我再让他们做稍微难一点的题目。再如，一个角比它的余角大25°，求这个角的度数。由于题目比较短，学生能找出等量关系：一个角=它的余角+25°，笔者让学生设一个角为x°，则它的余角是（90-x°），于是列方程如下：x=90°-x°+25°，列完后让学生尝试做以下題目：一个角的补角比这个角的余角的两倍大15°，求这个角的度数。同样由于此题不长，基础差的同学们也能找到等量关系，一个角的补角=这个角的余角×2+15°，于是让学生设这个角为x°，则它的余角为（90°-x°），它的补角为（180°-x°），列方程如下180°-x°=2（90°-x°）+15°，然后再加一点难度，举例如下，小明今年13，他爸爸今年39，几年后小明的年龄是他爸爸年龄的一半，此题等量关系很好找，但如何列呢？分析由于小明和他父亲的年龄增加数是一样的，小明增加x岁，小明的爸爸也增加x岁，因此可设x年后小明的年龄是他父亲的一半，x年后小明的年龄是（13+x）岁，他父亲的年龄是（39+x）岁，由题意得：1/2（39+x）=13+x，这样那些基础差的学生一看我也能列，他们就会多尝试，他们就会取得进步。

2. 两个等量关系的题目

基本方法是把两个等量关系都找到并用等式表示出来，然后观察哪个等量关系比较简单就在设元时先用掉，再用另一个等量关系来列方程，举例如下，一个长方形操场的长是宽的2.5倍，根据需要要将它扩建，把它的长和宽各加长20cm后，它的长是宽的的两倍。求扩建前长方形操场的周长？分析此题发现它有两个等量关系，扩建前长=宽×2.5，扩建后长=宽×2，由于长和宽都增加20cm，因此扩建前等量关系比较简单。我们就用它来设元，设扩建前的长方形的宽是x，则长为2.5x，扩建后长方形的长为2.5x+20，宽为x+20。用另一个等量关系可以列方程得2.5x+20=2（x+20），再如，有甲和乙两个队伍，甲队比乙队的两倍多5人，甲和乙共有80人，让基础差的学生用以上方法来列，可以设甲有x人，则乙有（80-x）人，根据题意得x=2（80-x）+5。这样，学生发现自己也能列方程解应用题了，他们就会在成功的基础之上兴趣大增。

通过设计一些简单的应用题，简单的应用题应用背景较简单，语言较直接，容易使学生领会如何解题，理顺数量关系，建立数学模型，为解决复杂的应用题打好良好的基础，同时带领学生成功解题的经验，增强学应用题的信心。学生都有强烈的好胜心，如果在学习中经常失败，会对所学习的内容失去信心。教师要会创造合适的机会促使学生感受成功的喜悦，对培养他们的探究应用题的能力是有帮助的，也是有必要的。通过以上的方法让学生进行充分的思考并进行大量同类型题目的训练，这样那些基础差的学生也能体会到大量的成功经历，感受到成功的感觉，笔者坚信成功是成功之母。

其次在学生已对基础题熟悉的基础上，笔者再教授学生如何读题，分解题目。

因为应用题的题目比较长，学生会对此产生恐惧，尤其是基础差的同学，这时教师的鼓励和合适的方法就显得尤为重要。在讲授时，要给学生充足的读题时间，让学生认真读完题目后，努力找出题目中的明显的等量关系或隐含的等量关系，努力让学生一边阅读一边抓住题目中的关键句子。把题目中的条件显性化、等量化，结合设出合适的未知数，列出一元一次方程。下面，笔者就从两方面来分析：

（1）题目相对不长，题目中的隐含的等量关系好找，例如通常的工程问题和简单的行程问题。举例如下，一项工程，甲队单独完成需要20天，乙队完成需要30天，如果由甲队先做8天，再由乙队单独做3天，其余的由甲和乙合作，还需要几天完成？分析此题是常见得工程问题，要把工作总量看成“1”，甲单独做一天是1/20，乙单独一天做是1/30，甲和乙合作一天是（1/20+1/30），这样可设其余的由甲乙合作，还需要x天完成？等量关系是甲做8天的工作量+乙做3天的工作量+甲和乙合作x天的工作量=1，此题中还有一个关键是，工作总量=工作效率×工作时间，则甲8天的工作量=1/20×8，乙3天的工作量=1/30×3，甲乙合作x天的工作量是（1/20+1/30）x，可以列方程为1/20×8+1/30×3+（1/20+1/30）x=1。这样简单的工程问题基础差的学生也能列方程了。当然这类题目对于基础差的学生有点难，要给充分的时间思考，让学生领会工程问题的关键，工作效率如何求，工作总量如何求。渐渐地学生对工程问题就会有感性的认识。

（2）如果题目相对有点长，则让学生一边读一边把关键的语句找出来，并把问题简单化、数学化，努力用等量关系把题目中的条件串联起来，降低题目的容量。在此过程中要让同学们多读题目，多想一下，一定要他们多尝试，同时把关键词，关键的等量关系划出来。把没有用的文字忽略掉，从而让题目变短，这样减少同学们的恐惧感。例如以下的题目：某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润可涨至7500元，当地一家公司收获这种蔬菜140吨，该公司的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种方法不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：

方案1：将蔬菜全部进行粗加工。

方案2：尽可能地多对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售。

方案3：将部分蔬菜进行精加工，其余的蔬菜进行粗加工，并恰好在15天内完成。

你认为哪种方案获利最多？为什么？

做到这种题目时往往基础差的学生不看了，其实这题不难，笔者就采用找关键词的方法，例如方案1，将蔬菜全部进行粗加工，笔者就只找粗加工，粗加工每吨利润4500元，每天可加工16吨。在加上条件15天内必须处理完，这样把方案1概括为粗加工15天，其余的直接销售，获利多少？由于16×15>140，即140吨全部粗加工后卖出，获利140×4500这样就解决了。同樣方案2更直接了当意思很明显，精加工15天，剩余的直接销售，获利多少？列式如下6×15×7500+（140-6×15）×1000也能解决。方案3稍有困难，关键词如下，粗加工的天数+精加工的天数=15，精加工蔬菜的吨数+粗加工蔬菜的吨数=140，找到这样两个等量关系，前面笔者已讲授过，利用一个简单的等量关系设未知数，设粗加工的天数是x天，则精加工的天数为（15-x）天。利用后一个等式列方程，16x+6（15-x）=140，这就把一个比较长的应用题变短了。通过多次的拆解，同学们就会感觉到应用题也不是那么可怕了。这时再强化一下训练如何分解题目，学生就会积极性高涨，纷纷想尝试一下题目更长的中考题了。此时，笔者却给他们泼一下冷水，让他们把七年级的基础题学好，俗话说得好：“万丈高楼平地起”，笔者让他们把初一的难点，行程问题仔细的分类和分解，如何通过画图（线段图）来找等量关系和列出有关代数式。这样，通过应用题专题训练，极大地提高学生的解题能力，从而激发基础差的学生的好胜心和积极性。

总之，在应用题教学中，要培养学生运用数学的意识，让它贯穿整个中学阶段，在平时应用题的教学中要注意培养学生的阅读能力和理解能力。以及如何从应用题中提炼出正确的等量关系，扩大学生的知识面，培养学生的数学应用意识，让学生养成平时关心周围发生的数学现象，关心生产生活中数学问题的良好习惯，正确把握应用题的表述方法，涉及的对象，求解时所用的数学方法来解决和剖析数学问题。在生活中多实践、多动手、多思考，这样教师才能真正教好应用题，学生才能真正学好应用题。

（作者单位：江苏省苏州市吴江区芦墟初级中学 215000）