构造对偶式 妙解六类题

蔡勇全

(四川省资阳市外国语实验学校,四川 资阳 641300)



构造对偶式 妙解六类题

蔡勇全

(四川省资阳市外国语实验学校,四川 资阳 641300)

对偶式是指形式相似并具有一定对称关系的两个数学式子.在数学解题过程中，如果能挖掘出题目中潜在的对称性，合理构造出相应的对偶式，再结合适当的加、减、乘等运算，往往能使问题获得巧妙的解决.

结构特征；构造；对偶式

有些数学问题，按常规思路寻求解答，常常由于繁琐的运算而极易出错，甚至思维一时受阻.这时若调整解题思路，根据题设条件或所求结论中某些式子的结构特征，联想并构造出能与之形成和与差、积与商、正与负、互为有理化因式、互为共轭因式、正弦与余弦、正切与余切、奇函数与偶函数等匹配类型的对偶式，然后将这两个对偶式通过合理的变换与运算，简捷高效地完成问题的解决，使陷入僵局的解答过程“拨云见日”.这样做，不仅可以极大地减少运算量，优化解题过程，起到化繁为简、化难为易的效果，而且可以较好地体现数学的对称美、奇异美、和谐美与统一美.本文结合实例介绍对偶式在解答几类数学问题时的妙用，旨在探索题型规律，揭示解题方法，供大家参考.

一、三角求值

二、证明不等式或恒等式

1.证明不等式

例2 求证:2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x≤5.

证明 令A=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x，B=2cos4x+3cos2xsin2x+5sin4x，则A+B=7(sin4x+cos4x)+6sin2xcos2x=7(sin2x+cos2x)2-8sin2x·cos2x=7-2sin22x=5+2cos22x①.

A-B=3(cos4x-sin4x)=3(cos2x-sin2x)=3cos2x②.

变式1 已知a，b，c，d∈R，a2+b2+c2+d2≤1，求证:(a+b)4+(a+c)4+(a+d)2+(b+c)4+(b+d)4+(c+d)4≤6.

证明 令A=(a+b)4+(a+c)4+(a+d)2+(b+c)4+(b+d)4+(c+d)4，再令B=(a-b)4+(a-c)4+(a-d)2+(b-c)4+(b-d)4+(c-d)4，A+B=6(a4+b4+c4+d4+2a2b2+2a2c2+2a2d2+2b2c2+2b2d2+2c2d2)=6(a2+b2+c2+d2)2≤6.

又B≥0，所以A≤6，即原不等式得证.

2.证明恒等式

例3 求证:sin3α·sin3α+cos3α·cos3α=cos32α.

证明 令m=sin3α·sinα·sin2α+cos3α·cosα·cos2α，且n=cos3α·cosα·sin2α+sin3α·sinα·cos2α，则m+n=cos2α，m-n=cos4α·cos2α，

所以2m=cos2α(1+cos4α)=2cos32α，m=cos32α，即原结论得证.

变式1 求证:cos2α+cos2β-2cosαcosβcos(α+β)=sin2(α+β).

评注 从例3及其变式1可以看到，构造对偶式证明恒等式时，对于同一个式子，可以局部对偶创设其对偶式，其余部分不变.

三、求最值或取值范围

1.求最值

二、求取值范围

例5 已知实数x，y满足x2-3xy+y2=2，求x2+y2的取值范围.

评注 对于例5的变式，题目中的两个条件式本是一组对偶式，而在解答过程中，通过逆用公式又得到了sin(α+β)与sin(α-β)，从和与差的角度看，它们仍是一组对偶式，这正是解答本题的关键所在.

四、求和问题

1.函数中的求和问题

评注 从例6可以看到，构造对偶式解决函数中的求和问题时，可多次设出必要的对偶式，既体现个别(局部)性，又体现整体性.

2.二项展开式中的求和问题

3.数列中的求和问题

五、解方程

评注 从例9可以看到，对于无理方程的求解，是从和与差的视角来构造对偶式的；对于复数方程的求解，是从寻找共轭复数代数式的视角来构造对偶式的；对于三角方程的求解，是从正弦(切)对余弦(切)的角度来构造对偶式的.

六、求函数解析式

变式1 已知定义域为R的函数y=f(x)满足3f(1-x)-f(1+x)=2x+4，求函数y=f(x)的解析式.

评注 若把上述变式中条件式左边改为“3f(-x)±f(x)”或“3f(a-x)±f(a+x)”，则构造对偶式的替换策略依然不会发生改变.对于变式4，其对偶构造思想体现在利用f(x)与g(x)的奇、偶性，构造出“f(x)+g(x)”与“f(x)-g(x)”这一组对偶式.

[1]蔡勇全.构造"辅助元"解题的十种策略[J].数理化解题研究，2016(5).

[2]蔡勇全.简化数学运算的若干策略[J].数学教学研究，2015(1).

[3]蔡勇全.从结构联想模型巧证不等式的着眼点[J].中学数学研究，2012(1).

[责任编辑：杨惠民]

2017-05-01

蔡勇全(1980.8-)，男,四川省资阳市人，硕士，中学数学一级教师，从事数学教学.

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1008-0333(2017)16-0032-03